已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).(e是自然对数的底数)(1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值;(2)试讨论函数f(x)的单调性.
题型:解答题难度:一般来源:东城区模拟
已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).(e是自然对数的底数) (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值; (2)试讨论函数f(x)的单调性. |
答案
(1)f′(x)=-a, ∵f"(x)是奇函数, ∴f′(-x)==-f′(x),于是a=. (2)f′(x)=-a=, ①当a≥1时,恒有f"(x)<0,∴f(x)为R上的单调减函数; ②当0<a<1时,由f"(x)>0得(1-a)ex-a>0∴ex>∴x>ln, ∴当x∈(ln,+∞)时,f(x)单调递增;当x∈(-∞,ln)时,f(x)单调递减; 综上:当a≥1时,f(x)为R上的单调减函数; 当0<a<1时,f(x)在(ln,+∞)上单调递增;在(-∞,ln)上单调递减. |
举一反三
已知f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=lg,那么当x∈(-1,0)时,f(x)的表达式是 ______ |
已知定义在(-∞,-1)∪(1,+∞)上的奇函数满足:①f(3)=1;②对任意的x>2均有f(x)>0;③对任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1). (1)求f(2)的值. (2)是否存在实数a,使得f(cos2θ+asinθ)<3对任意的θ∈(0,π)恒成立?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由. |
设定义域在[x1,x2]的函数y=f(x)的图象为C,C的端点分别为A、B,M是C上的任一点,向量=(x1,y1),=(x2,y2),=(x,y),若x=λx1+(1-λ)x2,记向量=λ+(1-λ),现定义“函数y=f(x)在[x1,x2]上可在标准K下线性近似”是指||≤K恒成立,其中K是一个正数. (1)证明:0≤λ≤1(2); (3)请你给出一个标准K的范围,使得[0,1]上的函数y=x2(4)与y=x3(5)中有且只有一个可在标准K下线性近似. |
设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f"(x)是奇函数. (Ⅰ)求b,c的值. (Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值. |
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求m、n的值并指出函数y=f(x)在其定义域上的单调性(不要求证明); (2)解不等式f(x+2)+f(2x-1)<0. |
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