已知定义在(-∞,-1)∪(1,+∞)上的奇函数满足:①f(3)=1;②对任意的x>2均有f(x)>0;③对任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在(-∞,-1)∪(1,+∞)上的奇函数满足:①f(3)=1;②对任意的x>2均有f(x)>0;③对任意的x>0,y>0,均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1). (1)求f(2)的值. (2)是否存在实数a,使得f(cos2θ+asinθ)<3对任意的θ∈(0,π)恒成立?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)令x=y=1,得f(2)=0; (2)先证明f(x)在(1,+∞)是增函数. 任取x1>1,x2>1,且x2>x1 则有f(x1)+f(+1)=f(x1-1+1)+f(+1)=f((x1-1)+1)=f(x2). 而+1>1+1=2 所以f(x1)<f(x2),即f(x)在(1,+∞)是增函数. 又因为f(x)是奇函数, ∴f(x)在(-∞,-1)上是增函数. 令x=y=2 有f(5)=2; 令x=2,y=4 有f(9)=3. 又f(8+1)+f(+1)=f(8+1)=0, ∴f(-)=3. 则f(x)<3的解集为(-∞,-)∪(1,9), 于是问题等价于是否存在实数a,使cos2θ+asinθ<-或1<cos2θ+asinθ<9对任意的θ∈(0,π)恒成立, 令t=sinθ,则t∈(0,1] 对于cos2θ+asinθ<-恒成立化为t2-at->0,在t∈(0,1]上恒成立. 即a<t-在t∈(0,1]上恒成立. 而t→0时,t-→-∞,故不存在存在实数a,使cos2θ+asinθ<-恒成立. 1<cos2θ+asinθ<9对任意的θ∈(0,π)恒成立等价于在t∈(0,1]上恒成立. t2-at+8>0,t∈(0,1]⇔a<t+, 易得a<9.而t2-at<0知a>t所以a>1. 综合以上有当1<a<9使得f(cos2θ+asinθ)<3对任意的θ∈(0,π)恒成立 |
举一反三
设定义域在[x1,x2]的函数y=f(x)的图象为C,C的端点分别为A、B,M是C上的任一点,向量=(x1,y1),=(x2,y2),=(x,y),若x=λx1+(1-λ)x2,记向量=λ+(1-λ),现定义“函数y=f(x)在[x1,x2]上可在标准K下线性近似”是指||≤K恒成立,其中K是一个正数. (1)证明:0≤λ≤1(2); (3)请你给出一个标准K的范围,使得[0,1]上的函数y=x2(4)与y=x3(5)中有且只有一个可在标准K下线性近似. |
设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f"(x)是奇函数. (Ⅰ)求b,c的值. (Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值. |
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求m、n的值并指出函数y=f(x)在其定义域上的单调性(不要求证明); (2)解不等式f(x+2)+f(2x-1)<0. |
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)定义:设f′′(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f′(x)=0有实数解x0,则称点(x0f(x))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=x3-6x2+5x+4,请回答下列问题.(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标 (2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论; (3)写出一个三次函数G(x),使得它的“拐点”是(1,3)(不要过程) |
已知函数f(x)=ln. (Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=ln在定义域上是奇函数; (Ⅱ)对于x∈[2,6]f(x)=ln>ln恒成立,求实数m的取值范围. |
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