设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f"(x)是奇函数.(Ⅰ)求b,c的值.(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值.
题型:解答题难度:一般来源:南昌模拟
设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f"(x)是奇函数. (Ⅰ)求b,c的值. (Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值. |
答案
(Ⅰ)∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f"(x)=3x2+2bx+c. 从而g(x)=f(x)-f"(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c 是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3; (Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=x3-6x,从而g"(x)=3x2-6, 当g"(x)>0时,x<-或x>, 当g"(x)<0时,-<x<, 由此可知,(-∞,-)和(,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;(-,)是函数g(x)的单调递减区间; g(x)在x=-时取得极大值,极大值为4,g(x)在x=时取得极小值,极小值为-4. |
举一反三
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求m、n的值并指出函数y=f(x)在其定义域上的单调性(不要求证明); (2)解不等式f(x+2)+f(2x-1)<0. |
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)定义:设f′′(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f′(x)=0有实数解x0,则称点(x0f(x))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=x3-6x2+5x+4,请回答下列问题.(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标 (2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论; (3)写出一个三次函数G(x),使得它的“拐点”是(1,3)(不要过程) |
已知函数f(x)=ln. (Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=ln在定义域上是奇函数; (Ⅱ)对于x∈[2,6]f(x)=ln>ln恒成立,求实数m的取值范围. |
设f(x)=(x>0) (Ⅰ)判断函数f(x)的单调性; (Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,试说明理由; (Ⅲ)求证:(1+)n<e,n∈N*(其中e为自然对数的底数). |
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+2ax-3. (1)求f(x)在区间[1,3]上的最小值. (2)若f(x),g(x)在区间[1,3]上单调性相同,求实数α的取值范围. (3)求证:对任意的α,都有f(x)>-. |
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