证明:(1)∵f(x)=,(x>0) ∴f′(x)=, 设g(x)=-ln(1+x),(x≥0). ∴g′(x)=-==≤0, ∴y=g(x)在[0,+∞)上为减函数. ∴g(x)=-ln(1+x)≤g(0)=0, ∴f′(x)=<0, ∴函数f(x)=在(0,+∞)上为减函数. (2)ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,⇔ln(1+x)-ax<0在(0,+∞)上恒成立, 设h(x)=ln(1+x)-ax,则h(0)=0, ∴h′(x)=-a, 若a≥1,则x∈[0,+∞)时,h′(x)=-a≤0恒成立, ∴h(x)=ln(1+x)-ax在[0,+∞)上为减函数 ∴ln(1+x)-ax<h(0)=0在(0,+∞)上恒成立, ∴ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立, 若a≤0显然不满足条件, 若0<a<1,则h′(x)=-a=0时,x=-1, ∴x∈[0, 时h"(x)≥0, ∴h(x)=ln(1+x)-ax在[0, 上为增函数, 当x∈[0, 时,h(x)=ln(1+x)-ax>0, 不能使ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立, ∴a≥1 (3)由(2)可知<1在(0,+∞)上恒成立, ∴ln(1+x)<1,即(1+x)<e, 取=n,即可证得(1+)n<e对一切正整数n成立. |