已知定义域为R的函数f(x)=-2x+n2x+1+m是奇函数.(1)求m、n的值并指出函数y=f(x)在其定义域上的单调性(不要求证明);(2)解不等式f(x+
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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+n2x+1+m是奇函数.(1)求m、n的值并指出函数y=f(x)在其定义域上的单调性(不要求证明);(2)解不等式f(x+
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的函数
f(x)=
-
2
x
+n
2
x+1
+m
是奇函数.
(1)求m、n的值并指出函数y=f(x)在其定义域上的单调性(不要求证明);
(2)解不等式f(x+2)+f(2x-1)<0.
答案
(1)f(0)=0得
f(0)=
-
2
0
+n
2
1
+m
,所以n=1,所以
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+m
,
由f(1)=-f(-1)得
-
2
1
+n
2
2
+m
=-
-
2
-1
+n
2
0
+m
,∴m=2------------------(4分)
由(1)知
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+2
=-
1
2
+
1
2
x
+1
由上式知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数---------------------------------(6分)
(2)又因f(x)是奇函数,从而不等式f(x+2)+f(2x-1)<0等价于f(x+2)<-f(2x-1)=f(1-2x),
因为f(x)是减函数,所以x+2>1-2x,即
x>-
1
3
,
所以原不等式的解集是
{x|x>-
1
3
}
.----(12分)
举一反三
对于三次函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0)定义:设f′′(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f′(x)=0有实数解x
0
,则称点(x
0
f(x))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=x
3
-6x
2
+5x+4,请回答下列问题.(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标
(2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论;
(3)写出一个三次函数G(x),使得它的“拐点”是(1,3)(不要过程)
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=ln
x+1
x-1
.
(Ⅰ)求函数的定义域,并证明
f(x)=ln
x+1
x-1
在定义域上是奇函数;
(Ⅱ)对于x∈[2,6]
f(x)=ln
x+1
x-1
>ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设
f(x)=
ln(1+x)
x
(x>0)
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,试说明理由;
(Ⅲ)求证:
(1+
1
n
)
n
<e,n∈
N
*
(其中e为自然对数的底数).
题型:解答题
难度:一般
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已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x
2
+2ax-3.
(1)求f(x)在区间[1,3]上的最小值.
(2)若f(x),g(x)在区间[1,3]上单调性相同,求实数α的取值范围.
(3)求证:对任意的α,都有
f(x)>
x
e
x
-
2
e
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=2sin
2
(ωx+
π
4
)-
3
cos2ωx(ω>0)的周期为π.
(1)求ω及函数f(x)的值域;
(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[
π
4
,
π
2
]上恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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