已知函数f(x)=lnx+1x-1.(Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数;(Ⅱ)对于x∈[2,6]f(x)=lnx+1x-1
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已知函数f(x)=lnx+1x-1.(Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数;(Ⅱ)对于x∈[2,6]f(x)=lnx+1x-1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=ln
x+1
x-1
.
(Ⅰ)求函数的定义域,并证明
f(x)=ln
x+1
x-1
在定义域上是奇函数;
(Ⅱ)对于x∈[2,6]
f(x)=ln
x+1
x-1
>ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)由
x+1
x-1
>0
,解得x<-1或x>1,
∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,
f(-x)=ln
-x+1
-x-1
=ln
x-1
x+1
=ln(
x+1
x-1
)
-1
=-ln
x+1
x-1
=-f(x)
∴
f(x)=ln
x+1
x-1
在定义域上是奇函数.
(Ⅱ)由x∈[2,6]时,
f(x)=ln
x+1
x-1
>ln
m
(x-1)(7-x)
恒成立,
∴
x+1
x-1
>
m
(x-1)(7-x)
>0,∵x∈[2,6]
∴0<m<(x+1)(7-x)在x∈[2,6]成立
令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)
2
+16,x∈[2,6],
由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减,
x∈[2,6]时,g(x)
min
=g(6)=7..
∴0<m<7.
举一反三
设
f(x)=
ln(1+x)
x
(x>0)
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,试说明理由;
(Ⅲ)求证:
(1+
1
n
)
n
<e,n∈
N
*
(其中e为自然对数的底数).
题型:解答题
难度:一般
|
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2
+2ax-3.
(1)求f(x)在区间[1,3]上的最小值.
(2)若f(x),g(x)在区间[1,3]上单调性相同,求实数α的取值范围.
(3)求证:对任意的α,都有
f(x)>
x
e
x
-
2
e
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=2sin
2
(ωx+
π
4
)-
3
cos2ωx(ω>0)的周期为π.
(1)求ω及函数f(x)的值域;
(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[
π
4
,
π
2
]上恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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