已知函数f(x)=axx+1(a为非零常数),定义:f1(x)=f(x),fk+1(x)=f[fk(x)],k∈N*,例如:f2(x)=f[f(x)],f3(x
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已知函数f(x)=axx+1(a为非零常数),定义:f1(x)=f(x),fk+1(x)=f[fk(x)],k∈N*,例如:f2(x)=f[f(x)],f3(x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
ax
x+1
(a为非零常数),定义:f
1
(x)=f(x),f
k+1
(x)=f[f
k
(x)],k∈N
*
,例如:f
2
(x)=f[f(x)],f
3
(x)=f[f
2
(x)],…
(1)当a=2时,求
f
2
(1),
f
3
(-
1
7
)
的值;
(2)若对于任意x≠-1,等式f
2
(x)=x恒成立,求a的值;
(3)当a确定后,f
k
(x),k∈N
*
的值都由x的值确定.当a=2时,试通过对f
k
(x)的探究,写出一个使得集合{f
k
(x)}为有限集的真命题(不必证明).
答案
(1)当a=2时,f(x)=
2x
x+1
∴f
2
(1)=f[f(1)]=f(1)=1
f
3
(-
1
7
)=f{f[f(-
1
7
)]} =f[f(-
1
3
)] =f(-1)
无意义
(2)若对于任意x≠-1,等式f
2
(x)=x恒成立
∴f
2
(x)=
a•
ax
x+1
ax
x+1
+1
=
a
2
x
ax+x+1
=x恒成立即a
2
=(a+1)x+1恒成立
∴a=-1
(3)结合(1)满足条件的真命题为:函数f(x)=
2x
x+1
,若x=-
1
7
,则集合{f
k
(x)}为有限集.
举一反三
已知下列函数①y=4x
2
②
y=
x
1
2
③y=x
2
-4x④
y=|x+
1
x
|
⑤
y=-
3
x-2
⑥y=2
|x|
.其中在其定义域上是偶函数,又在区间(1,+∞)上单调递增函数的有______(写出你认为正确的所有答案).
题型:填空题
难度:一般
|
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若定义在(-5,log
2
a
2
)上的函数y=f(x)是偶函数,则实数a=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)的周期为2,当x∈(-1,1]时,f(x)=x
2
,则当x∈(3,5]时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-f(-3)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知数列{a
n
}的前N项和为S
n
,a
1
=1,S
n+1
=2S
n
+3n+1(n∈N
*
).
(1)证明:数列{a
n
+3}是等比数列;
(2)对
k∈
N
*
,设f(n)=
S
n
-
a
n
+3n,n=2k-1
lo
g
2
(
a
n
+3),n=2k
求使不等式f(m)>f(2m
2
)恒成立的自然数m的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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