已知函数f(x)满足f(ax-1)=lgx+2x-3(a≠0).(1)求f(x)的表达式;(2)求f(x)的定义域;(3)判定f(x)的奇偶性与实数a之间的关系

已知函数f(x)满足f(ax-1)=lgx+2x-3(a≠0).(1)求f(x)的表达式;(2)求f(x)的定义域;(3)判定f(x)的奇偶性与实数a之间的关系

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)满足f(ax-1)=lg
x+2
x-3
(a≠0)

(1)求f(x)的表达式;
(2)求f(x)的定义域;
(3)判定f(x)的奇偶性与实数a之间的关系,并说明理由.
答案
(1)设ax-1=t则x=
t+1
a

由于f(ax-1)=lg
x+2
x-3
(a≠0)

f(t)=lg
t+1
a
+2
t+1
a
-3
=lg
t+1+2a
t+1-3a

从而f(x)=lg
x+1+2a
x+1-3a
(4分)
(2)a>0时,
x+1+2a
x+1-3a
>0
⇒x∈(-∞,-2a-1)∪(3a-1,+∞),
即函数的定义域为(-∞,-2a-1)∪(3a-1,+∞),
a<0时,
x+1+2a
x+1-3a
>0
⇒x∈(-∞,3a-1)∪(-2a-1,+∞). 
即定义域为(-∞,3a-1)∪(-2a-1,+∞).    (8分)
(3)当定义域关于原点对称时a=2,此时f(x)=lg
x+5
x-5
(10分)
f(-x)=lg
x-5
x+5
=-f(x)
,∴f(x)为奇函数,(13分)
当a≠0且a≠2时,f(x)的定义域不关于原点对称,
故f(x)为非奇非偶函数.                             (15分)
举一反三
已知函数y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x0称为函数f(x)的不动点;若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N*),则称{an} 为由函数f(x)导出的数列.
设函数g(x)=
4x+2
x+3
,h(x)=
ax+b
cx+d
(c≠0,ad-bc≠0,(d-a)2+4bc>0)

(1)求函数g(x)的不动点x1,x2
(2)设a1=3,{an} 是由函数g(x)导出的数列,对(1)中的两个不动点x1,x2(不妨设x1<x2),数列求证{
an-x1
an-x2
}
是等比数列,并求
lim
n→∞
an

(3)试探究由函数h(x)导出的数列{bn},(其中b1=p)为周期数列的充要条件.
注:已知数列{bn},若存在正整数T,对一切n∈N*都有bn+T=bn,则称数列{bn} 为周期数列,T是它的一个周期.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=x+
4
x
,且当x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m恒成立,则n-m的最小值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=
1-a+lnx
x
,a∈R
(I)求f(x)的极值;
(II)若lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,求k的取值范围;
(III)已知x1>0,x2>0,且x1+x2<e,求证:x1+x2>x1x2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=f(x)为奇函数,且f(1)+f(2)-4=f(-1)+f(-2)+2,则f(1)+f(2)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)

(1)当f(x)的定义域为[a+
1
2
,a+1]
时,求f(x)的值域;
(2)试问对定义域内的任意x,f(2a-x)+f(x)的值是否为一个定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由;
(3)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,若
1
2
≤a≤
3
2
,求g(x)的最小值.
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