设函数f（x）=x|x-a|+b（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．（2）设常数b＜22-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求

题型：解答题难度：一般来源：南通模拟

设函数f（x）=x|x-a|+b
（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0．
（2）设常数b＜2

-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）充分性：若a²+b²=0∴a=b=0
∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）为奇函数，故充分性成立．（2分）
必要性：若f（x）为奇函数
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a²+b²=0（6分）

（2）由b＜2

-3＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+

＜a＜x-

恒成立
令g（x）=x+

在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-

，则h（x）在（0，

-b

]上单调递减，[

-b

，+∞）单调递增
1°当b＜-1时h（x）=x-

在0＜x≤1上单调递减
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）
2°当-1≤b＜2

-3时，h（x）=x-

≥2

-b

，
∴a＜h_min（x）=2

-b

，∴1+b＜a＜2

-b

．（14分）

举一反三

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x₁，x₂都有不等式

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

)成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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已知函数f（x）满足f(ax-1)=lg

x+2

x-3

(a≠0)．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）的定义域；
（3）判定f（x）的奇偶性与实数a之间的关系，并说明理由．

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已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x₀称为函数f（x）的不动点；若a₁∈D，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），则称{a_n} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）=

4x+2

x+3

，h（x）=

ax+b

cx+d

(c≠0，ad-bc≠0，(d-a)2+4bc＞0)
（1）求函数g（x）的不动点x₁，x₂；
（2）设a₁=3，{a_n} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x₁，x₂（不妨设x₁＜x₂），数列求证{

an-x1

an-x2

}是等比数列，并求

lim

n→∞

an；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{b_n}，（其中b₁=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^*都有b_n+T=b_n，则称数列{b_n} 为周期数列，T是它的一个周期．

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已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f(x)=x+

，且当x∈[-3，-1]时，n≤f（x）≤m恒成立，则n-m的最小值是______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知函数f（x）=

1-a+lnx

，a∈R
（I）求f（x）的极值；
（II）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；
（III）已知x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，求证：x₁+x₂＞x₁x₂．

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