已知函数f（x）=2x2+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：一般来源：不详
| 已知函数f（x）=2x2+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，求实数m的取值范围． |
答案
当m=0时，f（x）=2x2+4x+4，g（x）=0，
∵f（x）=2（x+1）2+2＞0，∴m=0符合题意．
若m＜0，在x＜0时，g（x）＞0，在x≥0时，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x2+（4-m）x+4-m＞0在[0，+∞）上恒成立．
∵＜0，∴f（0）=4-m＞0，∴m＜4，∴m＜0符合题意．
若m＞0，在x＞0时，g（x）＞0，在x≤0时，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x2+（4-m）x+4-m＞0在（-∞，0]上恒成立．
∴或∴0＜m＜4，
综上可知m＜4． |
举一反三
本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
已知a为实数，f(x)=a-(x∈R)．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f-1（x）=log2（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围． |
已知函数f(x)=（x∈R，x≠0），其中a为常数，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函数，求常数a的值；
（2）当f（x）为奇函数时，设f（x）的反函数为f-1（x），且函数y=g（x）的图象与y=f-1（x+1）的图象关于y=x对称，求y=g（x）的解析式并求其值域；
（3）对于（2）中的函数y=g（x），不等式g2（x）+2g（x）+t•g（x）＞-2恒成立，求实数t的取值范围． |
已知数列{an}：a1=1、a2=2、a3=r且an+3=an+2（n∈N*），与数列{bn}：b1=1、b2=0、b3=-1、b4=0且bn+4=bn（n∈N*）．记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan．
（1）若a1+a2+a3+…+a9=34，求r的值；
（2）求T12的值，并求证当n∈N*时，T12n=-4n；
（3）已知r＞0，且存在正整数m，使得在T12m+1，T12m+2，…，T12m+12中有4项为100．求r的值，并指出哪4项为100． |
设函数f（x）=x|x-a|+b
（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．
（2）设常数b＜2-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围． |
若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x1，x2都有不等式[f(x1)+f(x2)]≤f()成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）． |
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