已知数列{an}:a1=1、a2=2、a3=r且an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1、b2=0、b3=-1、b4=0且bn+4=bn(n∈N

已知数列{an}:a1=1、a2=2、a3=r且an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1、b2=0、b3=-1、b4=0且bn+4=bn(n∈N

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知数列{an}:a1=1、a2=2、a3=r且an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1、b2=0、b3=-1、b4=0且bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan
(1)若a1+a2+a3+…+a9=34,求r的值;
(2)求T12的值,并求证当n∈N*时,T12n=-4n;
(3)已知r>0,且存在正整数m,使得在T12m+1,T12m+2,…,T12m+12中有4项为100.求r的值,并指出哪4项为100.
答案
(1)求得a1=1,a2=2,a3=r,a4=3,a5=4,a6=r+2,a7=5,a8=6,a9=r+4
所以由a1+a2+a3+…+a9=34,可得r=
7
3

(2)因为b1=1、b2=0、b3=-1、b4=0且bn+4=bn(n∈N*).
a1=1,a2=2,a3=r,a4=3,a5=4,a6=r+2,a7=5,a8=6,a9=r+4…
T12=b1a1+b2a2+b3a3+…+b12a12=-4,T12n=-4n,
用数学归纳法证明:
当n∈Z+时,T12n=-4n.
①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,
等式成立
②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,
那么当n=k+1时,
T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11
=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)
=-4k-4=-4(k+1),
等式也成立.
根据①和②可以断定:当n∈Z+时,T12n=-4n.
(3)T12m=-4m(m≥1).
当n=12m+1,12m+2时,Tn=4m+1;
当n=12m+3,12m+4时,Tn=-4m+1-r;
当n=12m+5,12m+6时,Tn=4m+5-r;
当n=12m+7,12m+8时,Tn=-4m-r;
当n=12m+9,12m+10时,Tn=4m+4;
当n=12m+11,12m+12时,Tn=-4m-4.
∵4m+1是奇数,-4m+1-r,-4m-r,-4m-4均为负数,
∴这些项均不可能取到100.
∴4m+5-r=4m+4=100,解得m=24,r=1.
此时T293,T294,T297,T298为100.
举一反三
设函数f(x)=x|x-a|+b
(1)求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.
(2)设常数b<2


2
-3,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
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若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上任意x1,x2都有不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≤f(
x1+x2
2
)
成立,则称函数y=f(x)在区间D上的凸函数.
(I)证明:定义在R上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)是凸函数;
(II)对(I)的函数y=f(x),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值时函数y=f(x)的解析式;
(III)定义在R上的任意凸函数y=f(x),当q,p,m,n∈N*且p<m<n<q,p+q=m+n,证明:f(p)+f(q)≤f(m)+f(n).
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已知函数f(x)满足f(ax-1)=lg
x+2
x-3
(a≠0)

(1)求f(x)的表达式;
(2)求f(x)的定义域;
(3)判定f(x)的奇偶性与实数a之间的关系,并说明理由.
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已知函数y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x0称为函数f(x)的不动点;若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N*),则称{an} 为由函数f(x)导出的数列.
设函数g(x)=
4x+2
x+3
,h(x)=
ax+b
cx+d
(c≠0,ad-bc≠0,(d-a)2+4bc>0)

(1)求函数g(x)的不动点x1,x2
(2)设a1=3,{an} 是由函数g(x)导出的数列,对(1)中的两个不动点x1,x2(不妨设x1<x2),数列求证{
an-x1
an-x2
}
是等比数列,并求
lim
n→∞
an

(3)试探究由函数h(x)导出的数列{bn},(其中b1=p)为周期数列的充要条件.
注:已知数列{bn},若存在正整数T,对一切n∈N*都有bn+T=bn,则称数列{bn} 为周期数列,T是它的一个周期.
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已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=x+
4
x
,且当x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m恒成立,则n-m的最小值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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