本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.已知a为实数,f(x)=a-22x+1(x∈R).(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞

本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.已知a为实数,f(x)=a-22x+1(x∈R).(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞

题型:解答题难度:一般来源:不详
本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.
已知a为实数,f(x)=a-
2
2x+1
(x∈R)

(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)当f(x)是奇函数时,若方程f-1(x)=log2(x+t)总有实数根,求实数t的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=a-
2
2x+1
(x∈R)

∴f(x)的导数为f"(x)=-
-2×2xln2
(2x+1)2
=
2x+1ln2
(2x+1)2
>0在(-∞,+∞)上恒成立
∴对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=a-
2
20+1
=0
,可得a=1.
f(x)=1-
2
2x+1
=
1-2x
2x+1

令y=
1-2x
2x+1
,可得2x=
1+y
1-y
,x=log2
1+y
1-y
,(-1<y<1)
∴函数f(x)的反函数为:f-1(x)=log2
1+x
1-x
(-1<x<1)

log2
1+x
1-x
=log2(x+t)
1+x
1-x
=x+t,即-1+
2
1-x
=x+t,
t=(1-x)+
2
1-x
-2≥2


2
-2

当且仅当1-x=
2
1-x
,即x=1-


2
时等号成立,
所以,t的取值范围是[2


2
-2,+∞)
举一反三
已知函数f(x)=
a•2x+a2-2
2x-1
(x∈R,x≠0),其中a为常数,且a<0.
(1)若f(x)是奇函数,求常数a的值;
(2)当f(x)为奇函数时,设f(x)的反函数为f-1(x),且函数y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于y=x对称,求y=g(x)的解析式并求其值域;
(3)对于(2)中的函数y=g(x),不等式g2(x)+2g(x)+t•g(x)>-2恒成立,求实数t的取值范围.
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已知数列{an}:a1=1、a2=2、a3=r且an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1、b2=0、b3=-1、b4=0且bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan
(1)若a1+a2+a3+…+a9=34,求r的值;
(2)求T12的值,并求证当n∈N*时,T12n=-4n;
(3)已知r>0,且存在正整数m,使得在T12m+1,T12m+2,…,T12m+12中有4项为100.求r的值,并指出哪4项为100.
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设函数f(x)=x|x-a|+b
(1)求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.
(2)设常数b<2


2
-3,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
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若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上任意x1,x2都有不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≤f(
x1+x2
2
)
成立,则称函数y=f(x)在区间D上的凸函数.
(I)证明:定义在R上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)是凸函数;
(II)对(I)的函数y=f(x),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值时函数y=f(x)的解析式;
(III)定义在R上的任意凸函数y=f(x),当q,p,m,n∈N*且p<m<n<q,p+q=m+n,证明:f(p)+f(q)≤f(m)+f(n).
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已知函数f(x)满足f(ax-1)=lg
x+2
x-3
(a≠0)

(1)求f(x)的表达式;
(2)求f(x)的定义域;
(3)判定f(x)的奇偶性与实数a之间的关系,并说明理由.
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