本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.已知a为实数,f(x)=a-22x+1(x∈R).(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞
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本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.已知a为实数,f(x)=a-22x+1(x∈R).(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.
已知a为实数,
f(x)=a-
2
2
x
+1
(x∈R)
.
(1)求证:对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)当f(x)是奇函数时,若方程f
-1
(x)=log
2
(x+t)总有实数根,求实数t的取值范围.
答案
(1)∵
f(x)=a-
2
2
x
+1
(x∈R)
∴f(x)的导数为f"(x)=-
-2×
2
x
ln2
(2
x
+1)
2
=
2
x+1
ln2
(2
x
+1)
2
>0在(-∞,+∞)上恒成立
∴对于任意实数a,y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
(2)因为f(x)是R上的奇函数,所以
f(0)=a-
2
2
0
+1
=0
,可得a=1.
∴
f(x)=1-
2
2
x
+1
=
1-
2
x
2
x
+1
,
令y=
1-
2
x
2
x
+1
,可得2
x
=
1+y
1-y
,x=log
2
1+y
1-y
,(-1<y<1)
∴函数f(x)的反函数为:
f
-1
(x)=lo
g
2
1+x
1-x
(-1<x<1)
由
lo
g
2
1+x
1-x
=lo
g
2
(x+t)
得
1+x
1-x
=x+t,即-1+
2
1-x
=x+t,
∴
t=(1-x)+
2
1-x
-2≥2
2
-2
当且仅当
1-x=
2
1-x
,即x=1-
2
时等号成立,
所以,t的取值范围是
[2
2
-2,+∞)
.
举一反三
已知函数
f(x)=
a•
2
x
+
a
2
-2
2
x
-1
(x∈R,x≠0),其中a为常数,且a<0.
(1)若f(x)是奇函数,求常数a的值;
(2)当f(x)为奇函数时,设f(x)的反函数为f
-1
(x),且函数y=g(x)的图象与y=f
-1
(x+1)的图象关于y=x对称,求y=g(x)的解析式并求其值域;
(3)对于(2)中的函数y=g(x),不等式g
2
(x)+2g(x)+t•g(x)>-2恒成立,求实数t的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知数列{a
n
}:a
1
=1、a
2
=2、a
3
=r且a
n+3
=a
n
+2(n∈N
*
),与数列{b
n
}:b
1
=1、b
2
=0、b
3
=-1、b
4
=0且b
n+4
=b
n
(n∈N
*
).记T
n
=b
1
a
1
+b
2
a
2
+b
3
a
3
+…+b
n
a
n
.
(1)若a
1
+a
2
+a
3
+…+a
9
=34,求r的值;
(2)求T
12
的值,并求证当n∈N
*
时,T
12n
=-4n;
(3)已知r>0,且存在正整数m,使得在T
12m+1
,T
12m+2
,…,T
12m+12
中有4项为100.求r的值,并指出哪4项为100.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)=x|x-a|+b
(1)求证:f(x)为奇函数的充要条件是a
2
+b
2
=0.
(2)设常数b<2
2
-3,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上任意x
1
,x
2
都有不等式
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]≤f(
x
1
+
x
2
2
)
成立,则称函数y=f(x)在区间D上的凸函数.
(I)证明:定义在R上的二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a<0)是凸函数;
(II)对(I)的函数y=f(x),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值时函数y=f(x)的解析式;
(III)定义在R上的任意凸函数y=f(x),当q,p,m,n∈N
*
且p<m<n<q,p+q=m+n,证明:f(p)+f(q)≤f(m)+f(n).
题型:解答题
难度:一般
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已知函数f(x)满足
f(ax-1)=lg
x+2
x-3
(a≠0)
.
(1)求f(x)的表达式;
(2)求f(x)的定义域;
(3)判定f(x)的奇偶性与实数a之间的关系,并说明理由.
题型:解答题
难度:一般
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