例2：已知f（x）=ax2+bx+c的图象过点（-1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f（x）≤x2+12对一切实数x都成立？

题型：解答题难度：一般来源：不详

例2：已知f（x）=ax²+bx+c的图象过点（-1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切实数x都成立？

答案

∵f（x）的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=

1

2

，c=

1

2

-a．
∴f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．
故x≤ax²+

1

2

x+

1

2

-a≤

x2+1

2

对一切x∈R成立，
也即

ax2- 1 2 x+ 1 2 -a≥0 (1-2a)x2-x+2a≥0

恒成立⇔

△1≤0 △2≤0 a＞0 1-2a＞0

⇒

1 4 -4a( 1 2 -a)≤0 1-8a(1-2a)≤0 a＞0 1-2a＞0.

解得a=

1

4

．∴c=

1

2

-a=

1

4

．
∴存在一组常数a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，使不等式x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切实数x均成立．