已知关于t的方程t2-2t+a=0的一个根为1+3i.(a∈R)(1)求方程的另一个根及实数a的值;(2)是否存在实数m,使对x∈R时,不等式loga(x2+a
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已知关于t的方程t2-2t+a=0的一个根为1+3i.(a∈R)(1)求方程的另一个根及实数a的值;(2)是否存在实数m,使对x∈R时,不等式loga(x2+a
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知关于t的方程t
2
-2t+a=0的一个根为
1+
3
i.(a∈R)
(1)求方程的另一个根及实数a的值;
(2)是否存在实数m,使对x∈R时,不等式log
a
(x
2
+a)≥m
2
-2km+2k对k∈[-1,2]恒成立?若存在,试求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)由题设知一根为
1-
3
i
,
∴
a=(1+
3
i)(1-
3
i)=4
.
(Ⅱ)设存在实数m满足条件,不等式为m
2
-2km+2k≤log
4
(x
2
+4),
∵log
4
(x
2
+4)的最小值为1,
∴m
2
-2km+2k≤1对k∈[-1,2]恒成立,
即2(1-m)k+m
2
-1≤0对k∈[-1,2]恒成立,
设g(k)=2(1-m)k+m
2
-1
则
g(-1)=
m
2
+2m-3≤0
g(2)=
m
2
-4m+3≤0
解得
-3≤m≤1
1≤m≤3
∴m=1,
因此存在m=1满足条件.
举一反三
设函数f(x)=x
2
+bln(x+1),其中b≠0.
(1)若b=-12,求f(x)在[1,3]的最小值;
(2)如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b的取值范围;
(3)是否存在最小的正整数N,使得当n≥N时,不等式
ln
n+1
n
>
n-1
n
3
恒成立.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数
f(x)=2si
n
2
x-2
3
sinxsin(x-
π
2
)
能使得不等式|f(x)-m|<2在区间
(0,
2π
3
)
上恒成立,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=1+
1
x-1
,g(x)=f(
2
|x|
)
.
(1)判断函数f(x)和g(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)证明函数g(x)在(-∞,0)上为增函数;
(3)若关于x关于的不等式
g(x)<
m
m+1
在x∈(1,+∞)时恒成立,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数y=x
2
+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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n
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n
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题型:填空题
难度:一般
|
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