定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=0有五个不相
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1. (1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式; (2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围. |
答案
(1)设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-x2-mx-1(2分) 又f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),(3分) 所以,f(x)=x2+mx+1(x>0),(4分) 又f(0)=0,(6分) 所以f(x)= | x2+mx+1 x>0 | 0 x=0 | -x2+mx-1 x<0 |
| | (7分) (2)因为f(x)为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,(8分) 由方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点,(9分) 又f(0)=0,所以f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,(10分) 即,方程x2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x1,x2(11分) ⇒ | △=m2-4>0 | x1+x2=-m>0 | x1•x2=1>0 |
| | ⇒m<-2,(14分) 所以,所求实数m的取值范围是m<-2(15分) |
举一反三
给出下列四个函数:①y=x+sinx;②y=x2-cosx;③y=2x-2-x;④y=ex+lnx,其中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调的函数是______.(写出所有满足条件的函数的序号) |
已知函数f(x)是实数集R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x+x-3. (1)求f(-1)的值; (2)求函数f(x)的表达式; (3)求证:方程f(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解. |
函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)和f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明; (3)若f(4)=1,f(3x+4)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. |
已知关于t的方程t2-2t+a=0的一个根为1+i.(a∈R) (1)求方程的另一个根及实数a的值; (2)是否存在实数m,使对x∈R时,不等式loga(x2+a)≥m2-2km+2k对k∈[-1,2]恒成立?若存在,试求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. |
设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0. (1)若b=-12,求f(x)在[1,3]的最小值; (2)如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b的取值范围; (3)是否存在最小的正整数N,使得当n≥N时,不等式ln>恒成立. |
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