函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）和f（-1）的值；（2）判断
题型：解答题难度：一般来源：不详
函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（4）=1，f（3x+4）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围． |
答案
（1）令x1=x2=1，有f（1）=f（1）+f（1），
所以f（1）=0．
令x1=x2=-1，有f（1）=f（-1）+f（-1）=0，
所以f（-1）=0．
（2）f（x）为偶函数，证明如下：
令x1=-1，有f（-x2）=f（-1）+f（x2），
∴f（-x2）=f（x2），
又定义域关于原点对称，所以f（x）为偶函数．
（3）因为f（4）=1，所以f（16）=f（4）+f（4）=2，
所以f（3x+4）＜f（16），
又函数为偶函数，所以f（|3x+4|）＜f（16），
所以，解得x的取值范围是：-＜x＜4且x≠-． |
举一反三
已知关于t的方程t2-2t+a=0的一个根为1+i．(a∈R)
（1）求方程的另一个根及实数a的值；
（2）是否存在实数m，使对x∈R时，不等式loga（x2+a）≥m2-2km+2k对k∈[-1，2]恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． |
设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln＞恒成立． |
| 若函数f(x)=2sin2x-2sinxsin(x-)能使得不等式|f（x）-m|＜2在区间(0， )上恒成立，则实数m的取值范围是______． |
已知函数f(x)=1+，g(x)=f(2|x|)．
（1）判断函数f（x）和g（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）证明函数g（x）在（-∞，0）上为增函数；
（3）若关于x关于的不等式g(x)＜在x∈（1，+∞）时恒成立，求m的取值范围． |
| 若函数y=x2+（a+2）x+3，x∈[a，b]的图象关于直线x=1对称，则b=______． |
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