已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x.(1)证明f(x+4)=f(x).(2)求f(log1218)的值.
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已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x.(1)证明f(x+4)=f(x).(2)求f(log1218)的值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2
x
.
(1)证明f(x+4)=f(x).(2)求
f(lo
g
1
2
18)
的值.
答案
(1)∵奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),∴f(x+2)=-f(x)=f(x-2),∴周期是4,故有f(x+4)=f(x)
(2)
f(lo
g
1
2
18)
=f(-1-2log
2
3)=
f(-3-2lo
g
2
3
2
)
=
f(1-2lo
g
2
3
2
)
=
f(lo
g
2
8
9
)
=
2
lo
g
2
8
9
=
8
9
举一反三
已知定义在R上的函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,g(x)=f(|x|)且g(1)=0,求使g(x)<0成立的x的范围______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+3)=f(x),f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数为 ______.
题型:填空题
难度:一般
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定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x
2
+mx-1.
(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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给出下列四个函数:①y=x+sinx;②y=x
2
-cosx;③y=2
x
-2
-x
;④y=e
x
+lnx,其中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调的函数是______.(写出所有满足条件的函数的序号)
题型:填空题
难度:一般
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已知函数f(x)是实数集R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log
2
x+x-3.
(1)求f(-1)的值;
(2)求函数f(x)的表达式;
(3)求证:方程f(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解.
题型:解答题
难度:一般
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