函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+3)=f(x),f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数为 ______.
题型:填空题难度:一般来源:不详
函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+3)=f(x),f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数为 ______. |
答案
由f(x+3)=f(x),得出3是该函数的周期, 由于f(2)=0,若x∈(0,6), 则可得出f(5)=f(2)=0, 又根据f(x)为奇函数,则f(-2)=-f(2)=0, 又可得出f(4)=f(1)=f(-2)=0, 又函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得出f(0)=0, 从而f(3)=f(0)=0,在f(x+3)=f(x)中, 令x=-,得出f(-)=f(), 又根据f(x)是定义在R上的奇函数,得出f(-)=-f(), 从而得到f()=-f(),即f()=0, 故f()=f(+3)=f()=0, 从而f()=f()=f(4)=f(1)=f(3)=f(5)=f(2)=0,若x∈(0,6). 故答案为:7. |
举一反三
定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1. (1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式; (2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围. |
给出下列四个函数:①y=x+sinx;②y=x2-cosx;③y=2x-2-x;④y=ex+lnx,其中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调的函数是______.(写出所有满足条件的函数的序号) |
已知函数f(x)是实数集R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x+x-3. (1)求f(-1)的值; (2)求函数f(x)的表达式; (3)求证:方程f(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解. |
函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)和f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明; (3)若f(4)=1,f(3x+4)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. |
已知关于t的方程t2-2t+a=0的一个根为1+i.(a∈R) (1)求方程的另一个根及实数a的值; (2)是否存在实数m,使对x∈R时,不等式loga(x2+a)≥m2-2km+2k对k∈[-1,2]恒成立?若存在,试求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. |
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