已知定义在R上的函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,g(x)=f(|x|)且g(1)=0,求使g(x)<0成立的x的范围______.

已知定义在R上的函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,g(x)=f(|x|)且g(1)=0,求使g(x)<0成立的x的范围______.

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,g(x)=f(|x|)且g(1)=0,求使g(x)<0成立的x的范围______.
答案
∵g(x)=f(|x|),
∴函数g(x)是偶函数,且x≥0时,g(x)=f(x)
∵函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴函数g(x)在[0,+∞)上为增函数,在(∞-,0)上为减函数,
又g(1)=0,
∴g(x)<0⇔g(|x|)<g(1)
∴|x|<1,解得-1<x<1,
故答案为(-1,1).
举一反三
函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+3)=f(x),f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数为 ______.
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定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.
(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
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给出下列四个函数:①y=x+sinx;②y=x2-cosx;③y=2x-2-x;④y=ex+lnx,其中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调的函数是______.(写出所有满足条件的函数的序号)
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已知函数f(x)是实数集R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x+x-3.
(1)求f(-1)的值;
(2)求函数f(x)的表达式;
(3)求证:方程f(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解.
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函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)和f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)若f(4)=1,f(3x+4)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
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