已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；（II）若对任意的实数x∈[16，12]，不等式|a-lnx|+ln[f"

题型：解答题难度：一般来源：焦作模拟

已知函数f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数x∈[

1

6

，

1

2

]，不等式|a-lnx|+ln[f"（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

答案

（I）f′(x)=

3

2+3x

-3x=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

，令f"（x）=0，得x=

1

3

或x=-1（舍）
当0≤x＜

1

3

时，f"（x）＞0，f（x）单调递增；当

1

3

＜x≤1时，f"（x）＜0，f（x）单调递减，∴f(

1

3

)=ln3-

1

6

是函数在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞-ln

3

2+3x

对x∈[

1

6

，

1

2

]恒成立
若ln

3

2+3x

＞0即x∈[

1

6

，

1

3

 )恒成立
由|a-lnx|+ln[f"（x）+3x]＞0得a＞lnx-ln

3

2+3x

或a＜lnx+ln

3

2+3x

设h(x)=lnx-ln

3

2+3x

= ln

2x+3x2

3

；g(x)=lnx+ln

3

2+3x

= ln

3

2+3x

依题意得a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[

1

3

，

1

2

]恒成立
∵g′(x)=

2

x(2+3x)

＞0，h′(x)=

2+6x

2x+3x2

＞0
∴g（x），h（x）都在[

1

3

，

1

2

]上递增
∴a＞h(

1

2

)或a＜g(

1

3

)
即a＞ln

7

12

或a＜ln

1

3

（3）由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b=0，
令ϕ(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b，则ϕ′(x)=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

当x∈[0，

7

3

]时，ϕ"（x）＞0，于是ϕ（x）在[0，

7

3

]上递增；当x∈[

7

3

，1]时，ϕ"（x）＜0，于是ϕ（x）在[

7

3

，1]上递减，而ϕ(

7

3

)＞ϕ(0)，ϕ(

7

3

)＞ϕ(1)∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于

ϕ(0)=ln2-b≤0 ϕ( 7 3 )ln(2+ 7 )- 7 6 + 2 7 3 -b＞0 ϕ(1)=ln5+ 1 2 -b≤0

，解得ln5+

1

2

≤b＜ln(2+

7

)-

7

6

+

2 7

3