定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)>0,且对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0)的值,并指出函数f(x)在R上的单调性
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)>0,且对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求f(0)的值,并指出函数f(x)在R上的单调性; (2)求证:函数f(x)为奇函数; (3)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对任意的x∈R恒成立,求实数k的范围. |
答案
(1)令x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0…(1分) 又f(x)为R上的单调函数 且 f(3)>0=f(0)…(3分) 所以f(x)为R上的单调增函数…(4分) (2)由已知,函数f(x)的定义域关于原点对称, 令y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)…(6分) 由于f(0)=0,得f(-x)=-f(x) 所以,函数f(x)为奇函数…(8分) (3)由f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0,f(k•3x)<-f(3x-9x-2),f(k•3x)<f(-3x+9x+2),…(9分) 因为f(x)为R上的单调增函数,…(10分) 所以k•3x<-3x+9x+2,k<-1+3x+…(11分) 因上式对于∀x∈R恒成立, 只需k小于-1+3x+的最小值, 由于3x+≥2,…(12分) 所以-1+3x+≥2-1, 所以,k<2-1…(13分) 故,实数k的取值范围为k<2-1…(14分) |
举一反三
设a∈R,函数f(x)=x2-ax+2. (Ⅰ)若a=3,解不等式f(x)<0; (Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围. |
已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z) 为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=+(2b+1)x-b-1,若g(x)=0的两个实根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数b的取值范围. |
已知函数f(x)=-log2,求函数f(x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. |
设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-2)=______. |
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