已知函数f(x)=1x-log21+x1-x,求函数f(x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
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已知函数f(x)=1x-log21+x1-x,求函数f(x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
题型:解答题
难度:一般
来源:上海
已知函数
f(x)=
1
x
-lo
g
2
1+x
1-x
,求函数f(x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
答案
(1)x须满足
x≠0
1+x
1-x
>0
,
由
1+x
1-x
>0得-1<x<1,
所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).
(2) 因为函数f(x)的定义域关于原点对称,
且对定义域内的任意x,
有
f(-x)=-
1
x
-lo
g
2
1-x
1+x
=-(
1
x
-lo
g
2
1+x
1-x
)=-f(x)
,
所以f(x)是奇函数.
研究f(x)在(0,1)内的单调性,
任取x
1
、x
2
∈(0,1),且设x
1
<x
2
,
则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
1
x
1
-lo
g
2
1+
x
1
1-
x
1
-
1
x
2
+lo
g
2
1+
x
2
1-
x
2
=
(
1
x
1
-
1
x
2
)+[lo
g
2
(
2
1-
x
2
-1)-lo
g
2
(
2
1-
x
1
-1)]
由
1
x
1
-
1
x
2
>0,lo
g
2
(
2
1-
x
2
-1)-lo
g
2
(
2
1-
x
1
-1)>0
,
得f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x)在(0,1)内单调递减,
由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减.
举一反三
设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2
x
+2x+b(b为常数),则f(-2)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时,
f(x)=2ax+
1
x
2
(x∈R).
(1)当x∈(0,1]时,求f(x)的解析式;
(2)若a>-1,试判断f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义域为R的函数f(x)=
-
2
x
+b
2
x+1
+a
是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)解关于t的不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-1)<0.
题型:解答题
难度:一般
|
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设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)是函数
f(x)=
3
2
-
2
2
x
+
2
图象上任意两点,且x
1
+x
2
=1.
(Ⅰ)求y
1
+y
2
的值;
(Ⅱ)若
T
n
=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)
(其中n∈N
*
),求T
n
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设
a
n
=
2
T
n
(n∈N
*
),若不等式a
n
+a
n+1
+a
n+2
+…+a
2n-1
>log
a
(1-2a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知不等式|2x-a|>x-1对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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