已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的函数f(x)=
-
2
x
+b
2
x+1
+a
是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)解关于t的不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-1)<0.
答案
(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0⇒
-1+b
2+a
=0,解得b=1,
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+a
又由f(1)=-f(-1)⇒
-2+1
4+a
=-
-
1
2
+a
1+a
,解得a=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+2
=-
1
2
+
1
2
x
+1
由上式知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数
又因f(x)是奇函数,从而不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-1)<0等价于
f(t
2
-2t)<-f(2t
2
-1)=f(-2t
2
+1).
因f(x)是减函数,由上式推得t
2
-2t>-2t
2
+1,
即3t
2
-2t-1>0解不等式可得t>1或t<-
1
3
;
故不等式的解集为:{ t|t>1或t<-
1
3
}.
举一反三
设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)是函数
f(x)=
3
2
-
2
2
x
+
2
图象上任意两点,且x
1
+x
2
=1.
(Ⅰ)求y
1
+y
2
的值;
(Ⅱ)若
T
n
=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)
(其中n∈N
*
),求T
n
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设
a
n
=
2
T
n
(n∈N
*
),若不等式a
n
+a
n+1
+a
n+2
+…+a
2n-1
>log
a
(1-2a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知不等式|2x-a|>x-1对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若函数
f(x)=
-
x
2
+2x,x>0
0,x=0
x
2
+mx,x<0
是奇函数,则实数m为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,且当x>0时,xf′(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=1,且当x∈[1,2]时,f(x)=2-x,则f(-2004.5)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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