设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2ax+1x2(x∈R).(1)当x∈(0,1]时,求f(x)的解析式
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设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2ax+1x2(x∈R).(1)当x∈(0,1]时,求f(x)的解析式
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时,
f(x)=2ax+
1
x
2
(x∈R).
(1)当x∈(0,1]时,求f(x)的解析式;
(2)若a>-1,试判断f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论
答案
(1)设x∈(0,1],则
-x∈[-1,0),f(-x)=-2ax+
1
x
2
∵f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x)
∴
f(x)=2ax-
1
x
2
,x∈(0,1]
(2)答:f(x)在(0,1]上单调递增.
证明:∵
f′(x)=2a+
2
x
3
=2(a+
1
x
3
),x∈(0,1]
∴
1
x
3
>1
又∵a>-1
∴
a+
1
x
3
>0
即
f′(x)=2(a+
1
x
3
)>0
∴f(x)在(0,1]上单调递增.
举一反三
已知定义域为R的函数f(x)=
-
2
x
+b
2
x+1
+a
是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)解关于t的不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-1)<0.
题型:解答题
难度:一般
|
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设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)是函数
f(x)=
3
2
-
2
2
x
+
2
图象上任意两点,且x
1
+x
2
=1.
(Ⅰ)求y
1
+y
2
的值;
(Ⅱ)若
T
n
=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)
(其中n∈N
*
),求T
n
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设
a
n
=
2
T
n
(n∈N
*
),若不等式a
n
+a
n+1
+a
n+2
+…+a
2n-1
>log
a
(1-2a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知不等式|2x-a|>x-1对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若函数
f(x)=
-
x
2
+2x,x>0
0,x=0
x
2
+mx,x<0
是奇函数,则实数m为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,且当x>0时,xf′(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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,若f(a)=8,则f(-a)=( )。
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