设函数y=f (x)是定义域为R的奇函数,且满足f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立,当-1≤x≤1时,f (x)=x3,则下列四个命题:①f(x)是

设函数y=f (x)是定义域为R的奇函数,且满足f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立,当-1≤x≤1时,f (x)=x3,则下列四个命题:①f(x)是

题型:单选题难度:一般来源:不详
设函数y=f (x)是定义域为R的奇函数,且满足f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立,当-1≤x≤1时,f (x)=x3,则下列四个命题:
①f(x)是以4为周期的周期函数.
②f(x)在[1,3]上的解析式为f (x)=(2-x)3
③f(x)在(
3
2
,f(
3
2
))
处的切线方程为3x+4y-5=0.
④f(x)的图象的对称轴中,有x=±1,其中正确的命题是(  )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④
答案
∵f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立,
∴f (x-4)=-f (x-2)=-[-f(x)]=f(x)∴f(x)是以4为周期的周期函数.①对
设1≤x≤3∴-1≤2-x≤1  又∵当-1≤x≤1时,f (x)=x3
∴f(2-x)=(2-x)3=-f(x)∴f (x)=(2-x)3  ②对
∴f"(x)=-3(2-x)2∴f"(
3
2
)=-
3
4
=k
又∵f(
3
2
)
=(2-
3
2
3=
1
8
∴f (x)在(
3
2
,f(
3
2
))
处的切线方程为:y-
1
8
=-
3
4
(x-
3
2
)即:3x+4y-5=0.③对
由f (x-2)=-f (x)=f(-x)知函数图象的一条对称轴为x=-1,又∵f(x)为奇函数,其图象关于y轴对称 
∴f (x)的图象的对称轴中,有x=1,故④对.
故选D.
举一反三
已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,若f(
1
2
)=0,△ABC
的内角A满足f(cosA)≤0,则角A的取值范围为(  )
A.[
2
3
π,π)
B.[
π
3
π
2
]
C.[
π
3
π
2
]∪[
2
3
π,π)
D.[
π
3
3
]
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=lg(x2-x),则f(-2)=(  )
A.lg
1
2
B.lg2C.2lg2D.lg6
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=(1+sinx)2n-(1-sinx)2n(n∈N*),则f(x)是(  )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=
1
3
对称,则f(-
2
3
)
=(  )
A.0B.1C.-1D.2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)是定义R在上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2),若f(1)=2,则f(2006)+f(2007)等于(  )
A.2007B.2006C.2D.0
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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