定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)求f(x)在

定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)求f(x)在

题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),x∈(0,1)时,f(x)=
2x
4x+1

(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析式;
(3)若关于x的方程|f(x)|=a无实数解,求实数a的取值范围.
答案
(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),
f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1

由f(x)为R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),
∴当x∈(-1,0)时,f(x)=-f(-x)=-
2x
4x+1
,(4分)
又f(0)=-f(0),f(0)=0,
∵f(-1)=-f(1),f(-1)=f(1-2)=f(1),
∴f(-1)=0,f(1)=0,(7分)
f(x)=





-
2x
4x+1
,x∈(-1,0)
0,x=0,±1
2x
4x+1
,x∈(0,1)
(8分)
(2)因为f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1-1)=f(x)
所以,2是函数f(x)的一个周期(2分)
∵f(x)是以2为周期的函数,即f(x-2k)=f(x),k∈Z,
设x∈[2k-1,2k+1],则x-2k∈[-1,1],
∴f(x-2k)=





-
2x
4x+1
,x-2k∈(-1,0)
0,x-2k=0,±1
2x
4x+1
,x-2k∈(0,1)
,(k∈Z)(6分)
f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析式:
f(x)=





-
2x
4x+1
,x∈(2k-1,2k)
0,x=2k,2k±1
2x
4x+1
,x∈(2k,2k+1)
,(k∈Z).
(3)∵x∈(0,1)
m=
2x
4x+1
=
1
2x+
1
2x
,(11分)
2x∈(1,2),
2x+
1
2x
∈(2,
5
2
)

当x=0,1时,m=0,
即当x∈[0,1]时,m∈(
2
5
1
2
)
∪{0}.    (14分)
∴当x∈[-1,1]时,|f(x)|∈(
2
5
1
2
)∪{0}

若关于x的方程|f(x)|=a无实数解,
则实数a的取值范围为:(-∞,0)∪(0,
2
5
)∪(
1
2
,+∞).
举一反三
已知f(x)=ax2+4x+1(a<0),对于给定的负数a,存在一个最大的正数t,在区间[0,t]上,|f(x)|≤3恒成立.
(1)当a=-1时,求t的值;           
(2)求t关于a的表达式g(a);
(3)求g(a)的最大值.
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已知定义域为R的函数f(x)=
3x+b
3x+a
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)讨论函数y=f(x)的单调性;
(3)若对任意的t∈[-3,3],不等式f(2t2+4t)+f(k-t2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
(普通中学学生做)若不等式x2+ax+a>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n+
3
2
an
(n∈N*).数列{bn}是等差数列,且b2=a2,b20=a4
(1)求证:数列{an-1}是等比数列;
(2)求数列{
bn
an-1
}
的前n项和Tn
(3)若不等式Tn+
-n2+11n-6
3n
<lo
g a
x
(a>0且a≠1)对一切n∈N*恒成立,求实数x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数,则k的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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