已知定义域为R的函数f(x)=3x+b3x+a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)讨论函数y=f(x)的单调性;(3)若对任意的t∈[-3,3],不等式f(2t
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已知定义域为R的函数f(x)=3x+b3x+a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)讨论函数y=f(x)的单调性;(3)若对任意的t∈[-3,3],不等式f(2t
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的函数
f(x)=
3
x
+b
3
x
+a
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)讨论函数y=f(x)的单调性;
(3)若对任意的t∈[-3,3],不等式f(2t
2
+4t)+f(k-t
2
)<0恒成立,求实数k的取值范围.
答案
方法一:
(1)由定义在R上的函数
f(x)=
3
x
+b
3
x
+a
是奇函数得对一切x∈R,f(x)+f(-x)=0恒成立
即
3
x
+b
3
x
+a
+
3
-x
+b
3
-x
+a
=0 即
3
x
+b
3
x
+a
+
b•
3
x
+1
1+a•
3
x
=0
,
整理得(a+b)(3
x
)
2
+(ab+1)3
x
+a+b=0对任意x∈R恒成立,
故
a+b=0
ab+1=0
,解得
a=1
b=-1
或
a=-1
b=1
,
又因为函数的定义域为R,故a=1,b=-1.
方法二:由题意可知f(0)=0,即1+b=0,b=-1,此时
f(x)=
3
x
-1
3
x
+a
,
又由f(1)+f(-1)=0得a=1,此时
f(x)=
3
x
-1
3
x
+1
,经检验满足f(-x)=-f(x)符合题意.
(2)由
f(x)=
3
x
-1
3
x
+1
得
f′(x)=
3
x
ln3(
3
x
+1)-(
3
x
-1)
3
x
ln3
(
3
x
+1)
2
=
2•
3
x
ln3
(
3
x
+1)
2
>0
恒成立,
故函数y=f(x)在R上为增函数.
(3)函数y=f(x)为奇函数且在R上为增函数
由f(2t
2
+4t)+f(k-t
2
)<0得f(2t
2
+4t)<-f(k-t
2
)2t
2
+4t<t
2
-k(12分)-k>t
2
+4t=(t+2)
2
-4对一切x∈[-3,3]恒成立
所以-k>{(t+2)
2
-4}
max
,x∈[-3,3],-k>21,∴实数k的取值范围是k<-21.
举一反三
(普通中学学生做)若不等式x
2
+ax+a>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且
S
n
=n+
3
2
a
n
(n∈N
*
).数列{b
n
}是等差数列,且b
2
=a
2
,b
20
=a
4
.
(1)求证:数列{a
n
-1}是等比数列;
(2)求数列
{
b
n
a
n
-1
}
的前n项和T
n
;
(3)若不等式
T
n
+
-
n
2
+11n-6
2×
3
n
<lo
g
a
x
(a>0且a≠1)对一切n∈N
*
恒成立,求实数x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=log
4
(4
x
+1)+kx(k∈R)是偶函数,则k的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=1-
sinx
1+|x|
(x∈R)的最大值为M,最小值为m,则M+m______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
当0≤x≤1时,
|ax-
1
2
x
3
|≤1
恒成立,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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