设p为常数,函数f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)为奇函数.(1)求p的值;(2)若f(x)>2,求x的取值范围;(3)求证:x•f(x)≤0.
题型:解答题难度:一般来源:不详
设p为常数,函数f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)为奇函数. (1)求p的值;(2)若f(x)>2,求x的取值范围;(3)求证:x•f(x)≤0. |
答案
(1)f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)=log2[(1-x)(1+x)p], ∵f(x)=log2(1-x)+plog2(1+x)为奇函数, ∴f(-x)=log2[(1+x)(1-x)p]=-f(x)=log2=log2[(1-x)-1(1+x)-p], ∴ | 1+x=(1+x)-p | (1-x)p=(1-x)-1 |
| | , ∴p=-1. (2)∵p=-1, ∴f(x)=log2, ∵f(x)>2, ∴, 解得-1<x<-, ∴f(x)>2时x的取值范围是(-1,-). (3)∵f(x)=log2, ∴>0,解得-1<x<1. 当-1<x<0时,>1,f(x)=log2>0, ∴x•f(x)<0; 当x=0时,=1,f(x)=log2=0, ∴x•f(x)=0; 当0<x<1时,<1,f(x)=log2<0, ∴x•f(x)<0. 综上所述,x•f(x)≤0. |
举一反三
定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),x∈(0,1)时,f(x)=. (1)求f(x)在[-1,1]上的解析式; (2)求f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析式; (3)若关于x的方程|f(x)|=a无实数解,求实数a的取值范围. |
已知f(x)=ax2+4x+1(a<0),对于给定的负数a,存在一个最大的正数t,在区间[0,t]上,|f(x)|≤3恒成立. (1)当a=-1时,求t的值; (2)求t关于a的表达式g(a); (3)求g(a)的最大值. |
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)讨论函数y=f(x)的单调性; (3)若对任意的t∈[-3,3],不等式f(2t2+4t)+f(k-t2)<0恒成立,求实数k的取值范围. |
(普通中学学生做)若不等式x2+ax+a>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是______. |
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n+an(n∈N*).数列{bn}是等差数列,且b2=a2,b20=a4. (1)求证:数列{an-1}是等比数列; (2)求数列{}的前n项和Tn; (3)若不等式Tn+<lox(a>0且a≠1)对一切n∈N*恒成立,求实数x的取值范围. |
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