已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)为偶函数,如果点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y2+1)在g(x)=f(x2+c)的图象上.(1
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已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)为偶函数,如果点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y2+1)在g(x)=f(x2+c)的图象上.(1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=x
2
+bx+c(b,c∈R)为偶函数,如果点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y
2
+1)在g(x)=f(x
2
+c)的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设F(x)=g(x)-λf(x).是否存在实数λ,使F(x)在
(-∞,-
2
2
)
上为减函数,且在
[-
2
2
,0)
上为增函数?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵f(x)=x
2
+bx+c为偶函数,故f(-x)=f(x),即有(-x)2+b(-x)+c=x
2
+bx+c,解得b=0.
由因为点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y
2
+1)在g(x)=f(x
2
+c)的图象上,所以c=1,所以f(x)=x
2
+1
(2)g(x)=f(x
2
+1)=(x
2
+1)
2
+1=x
4
+2x
2
+2.
F(x)=g(x)-λf(x)=x
4
+(2-λ)x
2
+(2-λ),F(x
1
)-F(x
2
)=(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)[x
1
2
+x
2
2
+(2-λ)]
由题设当x
1
<x
2
<
-
2
2
时,(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)>0,x
1
2
+x
2
2
+(2-λ)>
1
2
+
1
2
+2-λ=3-λ,
则3-λ≥0,λ≤3;
当
-
2
2
<x
1
<x
2
<0时,(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)>0,x
1
2
+x
2
2
+(2-λ)>
1
2
+
1
2
+2-λ=3-λ,
则3-λ≥0,λ≥3故λ=3.
举一反三
设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log
2
x,则当x<0时,f(x)等于( )
A.-log
2
x
B.log
2
(-x)
C.log
x
2
D.-log
2
(-x)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知数列{a
n
}的前n项为和S
n
,点
(n,
S
n
n
)
在直线
y=
1
2
x+
11
2
上.数列{b
n
}满足b
n+2
-2b
n+1
+b
n
=0(n∈N
*
),且b
3
=11,前9项和为153.
(Ⅰ)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
c
n
=
3
(2
a
n
-11)(2
b
n
-1)
,数列{c
n
}的前n和为T
n
,求使不等式
T
n
>
k
57
对一切n∈N
*
都成立的最大正整数k的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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在平面直角坐标系中,若点A、B同时满足
(1)点A、B都在函数y=f(x)的图象上;
(2)点A、B关于原点对称.则称点对(A,B)是函数y=f(x)的一个“姐妹点对”(规定点对(A,B)与点对(B,A)是同一个“姐妹点对”).若函数f(x)=a
x
-x-a(a>0且a≠1)只有一个“姐妹点对”,则a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数f(x)=1-e
-x
,函数
g(x)=
x
ax+1
(其中a∈R,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=0时,求函数h(x)=f"(x)•g(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N
*
,求证:
e
2n-
n
k=1
4
k+1
≤n!≤
e
n(n-1)
2
(其中e是自然对数的底数).
题型:解答题
难度:一般
|
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下列各函数中为奇函数的是( )
A.y=x+3
B.y=x
2
+x
C.y=|x-1|-|x+1|
D.y=-|x|
题型:单选题
难度:一般
|
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