设函数f(x)=1-e-x,函数g(x)=xax+1(其中a∈R,e是自然对数的底数).(Ⅰ)当a=0时,求函数h(x)=f"(x)•g(x)的极值;(Ⅱ)若f

设函数f(x)=1-e-x,函数g(x)=xax+1(其中a∈R,e是自然对数的底数).(Ⅰ)当a=0时,求函数h(x)=f"(x)•g(x)的极值;(Ⅱ)若f

题型:解答题难度:一般来源:资阳二模
设函数f(x)=1-e-x,函数g(x)=
x
ax+1
(其中a∈R,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=0时,求函数h(x)=f"(x)•g(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N*,求证:e2n-
n


k=1
4
k+1
≤n!≤e
n(n-1)
2
(其中e是自然对数的底数).
答案
(Ⅰ)∵f(x)=1-e-x,∴f′(x)=-e-x•(-1)=e-x
函数h(x)=f′(x)•g(x)=xe-x
∴h′(x)=(1-x)•e-x,当x<1时,h′(x)>0;当x>1时,h′(x)<0,
故该函数在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
∴函数h(x)在x=1处取得极大值h(1)=
1
e
.(4分)
(Ⅱ)由题1-e-x
x
ax+1
在[0,+∞)上恒成立,
∵x≥0,1-e-x∈[0,1),∴
x
ax+1
≥0

若x=0,则a∈R,若x>0,则a>-
1
x
恒成立,则a≥0.
不等式1-e-x
x
ax+1
恒成立等价于(ax+1)(1-e-x)-x≤0在[0,+∞)上恒成立,(6分)
令μ(x)=(ax+1)(1-e-x),则μ′(x)=a(1-e-x)+(ax+1)e-x-1,
又令v(x)=a(1-e-x)+(ax+1)e-x-1,
则v′(x)=e-x(2a-ax-1),∵x≥0,a≥0.
①当a=0时,v′(x)=-e-x<0,
则v(x)在[0,+∞)上单调递减,∴v(x)=μ′(x)≤v(0)=0,
∴μ(x)在[0,+∞)上单减,∴μ(x)≤μ(0)=0,
即f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立;(7分)
②当a≥0时,v(x)=-a•e-x(x-
2a-1
a
)

ⅰ)若2a-1≤0,即0<a
1
2
时,v′(x)≤0,则v(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴v(x)=μ′(x)≤v(0)=0,
∴μ(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴μ(x)≤μ(0)=0,
此时f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立;(8分)
ⅱ)若2a-1>0,即a
1
2
时,若0<x<
2a-1
a
时,
v′(x)>0,则v(x)在(0,
2a-1
a
)上单调递增,
∴v(x)=μ′(x)>v(0)=0,∴μ(x)在(0,
2a-1
a
)上也单调递增,
∴μ(x)>μ(0)=0,即f(x)>g(x),不满足条件.(9分)
综上,不等式f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立时,实数a的取值范围是[0,
1
2
].(10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a=
1
2
时,则1-e-x
x
1
2
x+1

e-x
2-x
2+x

当x∈[0,2)时,e-x
2-x
2+x
,∴x≤ln
2+x
2-x

2+x
2-x
=n
,则x=
2n-2
n+1
=2-
4
n+1

lnn≥2-
4
n+1
(n∈N*)
,∴
n










k=1
lnk≥2n-
n










k=1
4
k+1

ln(n!)≥2n-
n










k=1
4
k+1
,(12分)
又由(Ⅰ)得h(x)≤h(1),即xe-x
1
e
,当x>0时,ln(xe-x)≤ln
1
e
=-1
,∴lnx≤x-1,
ln(n!)=ln2+ln3+…+lnn≤1+2+…+(n-1)=
n(n-1)
2

综上得2n-
n










k=1
4
k+1
≤ln(n!)≤
n2-n
2

e2n-
n










k=1
4
k+1
≤n!≤e
n(n-1)
2
.(14分)
举一反三
下列各函数中为奇函数的是(  )
A.y=x+3B.y=x2+xC.y=|x-1|-|x+1|D.y=-|x|
题型:单选题难度:一般| 查看答案
己知f(x)在(-1,1)上有定义,f(
1
2
)=-1,且满足x.,y∈(-1,1)有f(x)+f(y)=f(
x+y
1-xy
)

(I)判断为f(x)在(-1,1)上的奇偶性:
(II)对数列x1=
1
2
,xn+1=
2xn
1+xn2
,求f(xn
(111)求证:
1
f(x1)
+
1
fx2)
+…+
1
f(xn)
>-
2n+5
n+2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),给出以下命题:
①函数f(x)是周期为2的周期函数;            
②函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
③函数f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)对称;
④若函数f(x)是(0,1)上的增函数,则f(x)是(3,5)上的增函数,其中正确命题有______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
f(x)是偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,若x∈[
1
2
,1]时,不等式f(ax+1)≤f(x-2)恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在[-e,e]上的奇函数,当x∈(0,e)时,f(x)=ex+lnx,其中e是自然对数的底数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的图象在点P(-1,f(-1))处的切线方程.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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