已知奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),给出以下命题:①函数f(x)是周期为2的周期函数; ②函数f(x)的图象关于直线x=1
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),给出以下命题: ①函数f(x)是周期为2的周期函数; ②函数f(x)的图象关于直线x=1对称; ③函数f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)对称; ④若函数f(x)是(0,1)上的增函数,则f(x)是(3,5)上的增函数,其中正确命题有______. |
答案
∵f(x+1)=f(x-1), ∴f(x)=f(x+2), ∴①函数f(x)是周期为2的周期函数,即①正确; 又f(x)=-f(-x), ∴f(x+1)=f(x-1)=-f(1-x)≠f(1-x), ∴函数f(x)的图象不关于直线x=1对称,故②错误; 又f(x)=f(x+2k), ∴f(x-k)=f(x+k)=-f(k-x), ∴f(k+x)=-f(k-x), ∴f(x)关于点(k,0)对称,即③正确; 对于④,∵f(x)在(0,1)单调递增,f(x)为奇函数, ∴f(x)在(-1,0)上单调递增,又函数f(x)是周期为2的周期函数, ∴f(x)在(1,2)单调递增,f(x)在(2,3)上单调递增,但不能确定f(x)在(1,3)的单调性. 由上面的分析可得,f(x)在(3,5)的单调性与(1,3)的单调性相同,故④错误; 综上所述,①③正确. 故答案为:①③. |
举一反三
f(x)是偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,若x∈[,1]时,不等式f(ax+1)≤f(x-2)恒成立,则实数a的取值范围是______. |
已知f(x)是定义在[-e,e]上的奇函数,当x∈(0,e)时,f(x)=ex+lnx,其中e是自然对数的底数. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的图象在点P(-1,f(-1))处的切线方程. |
设函数f(x)=x3-3ax2+3b2x (1)若a=1,b=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若0<a<b,不等式,f()>f()对任意x∈(1,+∞)恒成立,求整数k的最大值. |
如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别为边AB、AC的中点,CD与BE相交于点P, (1)若AB=2,四边形ADPE的面积记为S(A),试用角A表示出S(A),并求S的最大值; (2)若<t恒成立,求t的最小值. |
如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转90°,前进a r(0<r<1=个单位,再向左转90°,又前进a r2个单位,…,如此连续下去. (1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队? (2)若其中的r为变量,且0<r<1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上? |
最新试题
热门考点