已知f(x)是定义在[-e,e]上的奇函数,当x∈(0,e)时,f(x)=ex+lnx,其中e是自然对数的底数.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的图象
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在[-e,e]上的奇函数,当x∈(0,e)时,f(x)=ex+lnx,其中e是自然对数的底数. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的图象在点P(-1,f(-1))处的切线方程. |
答案
(1)设x∈[-e,0),则-x∈(0,e] ∴f(x)=-f(-x)=-[e-x+ln(-x)] ∵f(x)是定义在[-e,e]上的奇函数 ∴f(0)=0 ∴f(x)= | -e-x+ln(-x) ,x∈[-e,0) | 0 ,x=0 | ex+lnx ,x∈(0,e] |
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(2)f(-1)=-e,故P(-1,-e), 当x∈[-e,0),时f′(x)=ex-,f′(-1)=e+1 故过点P(-1,-e)的切线方程为y+e=(e+1)(x+1),即y=(e+1)x+1. |
举一反三
设函数f(x)=x3-3ax2+3b2x (1)若a=1,b=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若0<a<b,不等式,f()>f()对任意x∈(1,+∞)恒成立,求整数k的最大值. |
如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别为边AB、AC的中点,CD与BE相交于点P, (1)若AB=2,四边形ADPE的面积记为S(A),试用角A表示出S(A),并求S的最大值; (2)若<t恒成立,求t的最小值. |
如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转90°,前进a r(0<r<1=个单位,再向左转90°,又前进a r2个单位,…,如此连续下去. (1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队? (2)若其中的r为变量,且0<r<1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上? |
已知函数f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠kπ+ (k∈Z},函数f(x)满足f(x)=f(x+π),当x∈(-, )时,f(x)=2x+sinx.设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则( )A.a<c<b | B.b<c<a | C.c<b<a | D.c<a<b |
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2-2x (1)设h(x)=f(x+1)-g(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求h(x)的最大值; (2)设k∈Z,当x>1时,不等式k(x-l)<xf (x)+3g′(x)+4恒成立,求k的最大值. |
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