(1)h(x)=f(x+1)-g′(x)=ln(x+1)-x+2,(x>-1) 所以h′(x)=-1=,当-1<x<0时,h′(x)>0;当x>0时,h′(x)<0. 因此,h(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 故当x=0时,h(x)取得最大值h(0)=2. (2)∵xf(x)+3g′(x)+4=xlnx+3(x-2)+4=xlnx+3x-2, ∴当x>1时,不等式k(x-1)<xf(x)+3g′(x)+4可化为 k<=+2,所以不等式转化为k<+2对任意x>1恒成立. 令p(x)=+2,则p′(x)=,令r(x)=x-lnx-2(x>1),则r′(x)=1-=>0 所以r(x)在(1,+∞)上单调递增.因为r(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,r(4)=4-ln4-2=2-2ln2>0, 所以r(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4), 当1<x<x0时,r(x)<0,即p′(x)<0;当x>x0时,r(x)>0,即p′(x)>0. 所以函数p(x)=+2在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又r(x0)=x0-lnx0-2=0,所以lnx0=x0-2. 所以[p(x)]min=p(x0)=+2=+2=+2=x0+2∈(5,6), 所以k<[p(x)]min=x0+2∈(5,6) 故整数k的最大值是5. |