设函数f(x)=lnx,g(x)=x-1x.(1)求Φ(x)=g(x)+kf(x)(k<0)的单调区间;(2)若对所有的x∈[e,+∞),都有xf(x)≥ax+

设函数f(x)=lnx,g(x)=x-1x.(1)求Φ(x)=g(x)+kf(x)(k<0)的单调区间;(2)若对所有的x∈[e,+∞),都有xf(x)≥ax+

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=lnx,g(x)=x-
1
x

(1)求Φ(x)=g(x)+kf(x)(k<0)的单调区间;
(2)若对所有的x∈[e,+∞),都有xf(x)≥ax+a成立,求a的取值范围.
答案
(1)函数φ(x)=x-
1
x
+klnx的定义域为(0,+∞).
φ′(x)=1+
1
x2
+
k
x
=
x2+kx+1
x2

记函数h(x)=x2+kx+1,其判别式△=k2-4.
①当△=k2-4≤0,(k<0),即-2≤k<0时,g(x)≥0恒成立,
∴φ′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,φ(x)在区间(0,+∞)上递增.
②当△=k2-4>0,(k<0)即k<-2时,
方程h(x)=0有两个不等的实根x1=
-k-


k2-4
2
>0,x2=
-k+


k2-4
2
>0.
若x1<x<x2,则h(x)<0,∴φ′(x)<0,
∴φ(x)在区间(x1,x2)上递减;
若x>x2或0<x<x1,则g(x)>0,∴φ′(x)>0,
∴φ(x)在区间(0,x1)和(x2,+∞)上递增.
综上可知:当-2≤k<0时,φ(x)的递增区间为(0,+∞);
当k<-2时,φ(x)的递增区间为(0,
-k-


k2-4
2
)和(
-k+


k2-4
2
,+∞),
递减区间为(
-k-


k2-4
2
-k+


k2-4
2
).
(2)∵x≥e,∴xlnx≥ax+a⇔a≤
xlnx
x+1

令t(x)=
xlnx
x-1
,x∈[e,+∞),则h′(x)=
x+lnx+1
(x+1)2

∵当x≥e时,(x+lnx+1)′=1+
1
x
>0,
∴函数y=x+lnx+1在[e,+∞)上是增函数,
∴x+lnx+1≥e+lne+1=e+2>0,h′(x)>0,
∴t(x)的最小值为h(e)=
e
e+1

∴a≤
e
e+1
举一反三
下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上是增函数的是(  )
A.Y=2xB.y=x3+2xC.y=-sinxD.y=-
1
x
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)是奇函数且周期为3,f(-1)=-1,则f(2008)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知定义在(-1,1)上的函数f(x),满足f(
1
2
)=1
,并且∀x,y∈(-1,1)都有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)
成立,对于数列{xn},有x1=
1
2
xn+1=
2xn
1+
x2n

(Ⅰ)求f(0),并证明f(x)为奇函数;
(Ⅱ)求数列{f(xn)}的通项公式;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列{f(xn)},证明:
n
2
-
5
6
f(x1)-1
f(x2)-1
+
f(x2)-1
f(x3)-1
+…+
f(xn)-1
f(xn+1)-1
n
2
(n∈N*).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
奇函数f(x)在(0,+∞)上的解析式是f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上f(x)的函数解析式是(  )
A.f(x)=-x(1-x)B.f(x)=x(1+x)C.f(x)=-x(1+x)D.f(x)=x(x-1)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=





(3-a)x-4a,x<1
lgx,x≥1
是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是(  )
A.(1,+∞)B.[
3
5
,3)
C.(-∞,3)D.(1,3)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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