在平面直角坐标系中，若点A、B同时满足（1）点A、B都在函数y=f（x）的图象上；（2）点A、B关于原点对称．则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姐妹点

题型：填空题难度：一般来源：不详

在平面直角坐标系中，若点A、B同时满足
（1）点A、B都在函数y=f（x）的图象上；
（2）点A、B关于原点对称．则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姐妹点对”（规定点对（A，B）与点对（B，A）是同一个“姐妹点对”）．若函数f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一个“姐妹点对”，则a的取值范围为______．

答案

构建函数y=a^x（a＞0，且a≠1）和函数y=x+a，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）关于原点对称的函数为y=-a^-x
∵函数f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一个“姐妹点对”，
∴函数y=x+a与y=a^-x只有一个交点
∵a＞1时，y=a^-x单调减，与函数y=x+a图象只有一个交点；
0＜a＜1时，y=a^-x单调减，与函数y=x+a图象没有交点；
此时有a＞1；
故答案为a＞1．

举一反三

设函数f（x）=1-e^-x，函数g(x)=

ax+1

（其中a∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f"（x）•g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N^*，求证：e2n-

k=1

k+1

≤n!≤e

n(n-1)

（其中e是自然对数的底数）．

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下列各函数中为奇函数的是（　　）

A．y=x+3

B．y=x²+x

C．y=|x-1|-|x+1|

D．y=-|x|

题型：单选题难度：一般| 查看答案

己知f（x）在（-1，1）上有定义，f（

）=-1，且满足x．，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f(

x+y

1-xy

)．
（I）判断为f（x）在（-1，1）上的奇偶性：
（II）对数列x₁=

，x_n+1=

2xn

1+xn2

，求f（x_n）
（111）求证：

f(x1)

fx2)

+…+

f(xn)

＞-

2n+5

n+2

．

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已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），给出以下命题：
①函数f（x）是周期为2的周期函数；
②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；
④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题有______．

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f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，若x∈[

，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是______．

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