(I)证明:过两点(0,0)、(a,0)的中点作与x轴垂直的直线方程为x= 则P(,(b-)),…(1分) y"=3x2-(2a+2b)x+ab,…(2分) 所求切线斜率为3()2-(2a+2b)•+ab=-,…(3分) 切线方程为y-(b-)=-(x-),令y=0,解得x=b, 所以,函数y=f (x)过点P的切线过点(b,0)…(5分) (II)因为a=b,所以y=f(x)=x(x-a)2, y′=3x2-4ax+a2=3(x-a)(x-),…(6分) 当a>0时,函数y=f(x)在(-∞,)上单调递增,在(,a)单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 所以,根据题意有 即 解之得1<a<或a<-,结合a>0,所以1<a<…(9分) 当a<0时,函数y=f(x)在(,+∞)单调递增. …(10分) 所以,根据题意有f(1-a)<2a2,…(11分) 即(1-a)(1-a-a)2<2a2,整理得4a3-6a2+5a-1>0,(*) 令g(a)=4a3-6a2+5a-1,∴g′(a)=12a2-12a+5=12(a-)2+2>0 ∴g(a)在区间(-∞,0)单调递增,又g(0)=-1<0,所以“*”不等式无解.…(13分) 综上可知:1<a<. …(15分) |