已知函数y=f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N,且f(1)<52(1)试求函数f
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已知函数y=f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N,且f(1)<52(1)试求函数f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数y=f(x)=
a
x
2
+1
bx+c
(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N,且f(1)<
5
2
(1)试求函数f(x)的解析式;
(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即
a
x
2
+1
bx+c
=-
a
x
2
+1
-bx+c
⇒bx+c=bx-c
,
∴c=0.
∵a>0,b>0,
∴当x>0时,有f(x)=
a
x
2
+1
bx
=
a
b
x+
1
bx
≥2
a
b
2
,
当且仅当x=
1
a
时等号成立,于是2
a
b
2
=2,∴a=b
2
,
由f(1)<
5
2
得
a+1
b
<
5
2
即
b
2
+1
b
<
5
2
,
∴2b
2
-5b+2<0,解得
1
2
<b<2,又b∈N,
∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+
1
x
.
(2)假设存在一点(x
0
,y
0
)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x
0
,-y
0
)也在y=f(x)图象上,
则
x
0
2
+1
x
0
=
y
0
(2-
x
0
)
2
+1
2-
x
0
=-
y
0
,
所以消去y
0
得x
0
2
-2x
0
-1=0,解得x
0
=1±
2
.
∴y=f(x)图象上存在两点(1+
2
,2
2
),(1-
2
,-2
2
)关于(1,0)对称.
举一反三
(文)设函数y=f(x)=x(x-a)(x-b)(a、b∈R).
(Ⅰ)若a≠b,ab≠0,过两点(0,0)、(a,0)的中点作与x轴垂直的直线,此直线与函数y=f(x)的图象交于点P(x
0
,f(x
0
)),求证:函数y=f(x)在点P处的切 线过点(
4
3
3
,0);
(Ⅱ)若a=b(a≠0),且当x∈[0,|a|+1]时f(x)<2a
2
恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,若将f(x)的图象向右平移一个单位后,则得到一个偶函数的图象,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)=( )
A.0
B.1
C.-1
D.-1004.5
题型:单选题
难度:简单
|
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若f(x)函数为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,
f(x)-f(-x)
x
<0
的解集为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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定义域[-1,1]上的偶函数f(x),当x∈[0,1]时为减函数,求不等式
f(
1
2
-x)<f(x)
的解集.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=e
x
-e
-x
(x∈R),
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;
(2)是否存在实数t,使得不等式f(x-t)+f(x
2
-t
2
)≥0对一切x都成立?若存在,求t,若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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