(1)证明:记F(x)=sinx-x,则F′(x)=cosx-. 当x∈(0,)时,F′(x)>0,F(x)在[0,]上是增函数; 当x∈(,1)时,F′(x)<0,F(x)在[,1]上是减函数; 又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥x…3 记H(x)=sinx-x,则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx-1<0,所以H(x)在[0,1]上是减函数;则H(x)≤H(0)=0, 即sinx≤x. 综上,x≤sinx≤x…5 (2)∵当x∈[0,1]时,ax+x2++2(x+2)cosx-4 =(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2 ≤(a+2)x+x2+-4(x+2)(x)2 =(a+2)x, ∴当a≤-2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,…9 下面证明,当a>-2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立. ∵当x∈[0,1]时,ax+x2++2(x+2)cosx-4 =(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2 ≥(a+2)x+x2+-4(x+2)()2 =(a+2)x-x2- ≥(a+2)x-x2 =-x[x-(a+2)]. 所以存在x0∈(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足 ax0+x02++2(x0+2)cosx0-4>0, 即当a>-2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立. 综上,实数a的取值范围是(-∞,-2]. |