已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(Ⅰ)求f(0)的值;(Ⅱ)证明函数f(x)是以4为周期的周期函数;(Ⅲ)若f(X)=x(0

已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(Ⅰ)求f(0)的值;(Ⅱ)证明函数f(x)是以4为周期的周期函数;(Ⅲ)若f(X)=x(0

题型:解答题难度:一般来源:朝阳区一模
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)证明函数f(x)是以4为周期的周期函数;
(Ⅲ)若f(X)=x(0<x≤1),求x∈[-1,3]时,函数f(x)的解析式,求x∈R时,函数f(x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.
答案

魔方格
(Ⅰ)∵函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
令x=0,f(0)=-f(0),2f(0)=0,
∴f(0)=0.…(3分)
(Ⅱ)证:∵函数f(x)是奇函数,
∴f(x)=-f(-x)…(1)
又f(x)关于直线x=1对称,
∴f(1+x)=f(1-x).
在(1)中的x换成x+1,即f(1+x)=-f(-1-x),
即f(1-x)=-f(-1-x)…(2)
在(2)中,将1-x换成x,即f(x)=-f(-2+x)…(3)
在(3)中,将x换成2+x,即f(2+x)=-f(x)…(4)
由(3)、(4)得:f(-2+x)=f(2+x).
再将x-2换成x,得:f(x)=f(x+4).
∴f(x)是以4为周期的周期函数.…(8分)
(Ⅲ)设-1≤x<0时,则0<-x≤1,所以f(-x)=-x.
又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x,又f(0)=0,
所以,当-1≤x≤1时,f(x)=x.
当1<x<3时,-3<-x<-1,则-1<2-x<1.
所以f(2-x)=2-x,而函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(2-x)=f(x),即f(x)=2-x.
所以x∈[-1,3]时,函数f(x)的解析式为:f(x)=





x,-1≤x≤1
-x+2,1<x≤3

再由f(x)是以4为一个周期的周期函数,
从而有x∈R时,函数f(x)的解析式为:f(x)=





x-4k,4k-1≤x≤4k+1
-x+2+4k,4k+1<x<4k+3
(k∈Z)

函数f(x)一个周期的图象如图所示.…(13分)
举一反三
设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判断函数g(x)=





1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否满足题设条件;
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB,则在区间[1,2]上f(x)=______.魔方格
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件,①f(-1)=f(1)=0,②对任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|
(Ⅰ)证明:对任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
(Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)且使得





|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
,1]
;若存在请举一例,若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=lg(1+x2),g(x)=2-|x|,h(x)=tan2x中,______是偶函数.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
对于定义域是R的任何奇函数f(x),都有(  )
A.f(x)-f(-x)>0 (x∈R)B.f(x)-f(-x)≤0    (x∈R)
C.f(x)f(-x)≤0 (x∈R)D.f(x)f(-x)>0 (x∈R)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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