已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(Ⅰ)求f(0)的值;(Ⅱ)证明函数f(x)是以4为周期的周期函数;(Ⅲ)若f(X)=x(0
题型:解答题难度:一般来源:朝阳区一模
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称. (Ⅰ)求f(0)的值; (Ⅱ)证明函数f(x)是以4为周期的周期函数; (Ⅲ)若f(X)=x(0<x≤1),求x∈[-1,3]时,函数f(x)的解析式,求x∈R时,函数f(x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象. |
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). 令x=0,f(0)=-f(0),2f(0)=0, ∴f(0)=0.…(3分) (Ⅱ)证:∵函数f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)…(1) 又f(x)关于直线x=1对称, ∴f(1+x)=f(1-x). 在(1)中的x换成x+1,即f(1+x)=-f(-1-x), 即f(1-x)=-f(-1-x)…(2) 在(2)中,将1-x换成x,即f(x)=-f(-2+x)…(3) 在(3)中,将x换成2+x,即f(2+x)=-f(x)…(4) 由(3)、(4)得:f(-2+x)=f(2+x). 再将x-2换成x,得:f(x)=f(x+4). ∴f(x)是以4为周期的周期函数.…(8分) (Ⅲ)设-1≤x<0时,则0<-x≤1,所以f(-x)=-x. 又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x,又f(0)=0, 所以,当-1≤x≤1时,f(x)=x. 当1<x<3时,-3<-x<-1,则-1<2-x<1. 所以f(2-x)=2-x,而函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以f(2-x)=f(x),即f(x)=2-x. 所以x∈[-1,3]时,函数f(x)的解析式为:f(x)= 再由f(x)是以4为一个周期的周期函数, 从而有x∈R时,函数f(x)的解析式为:f(x)= | x-4k,4k-1≤x≤4k+1 | -x+2+4k,4k+1<x<4k+3 |
| | (k∈Z), 函数f(x)一个周期的图象如图所示.…(13分) |
举一反三
设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|. (Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x; (Ⅱ)判断函数g(x)=是否满足题设条件; (Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v. 若存在,请举一例:若不存在,请说明理由. |
设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB,则在区间[1,2]上f(x)=______. |
设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件,①f(-1)=f(1)=0,②对任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v| (Ⅰ)证明:对任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x (Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1 (Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)且使得 | |f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,] | |f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[,1] |
| | ;若存在请举一例,若不存在,请说明理由. |
函数f(x)=lg(1+x2),g(x)=2-|x|,h(x)=tan2x中,______是偶函数. |
对于定义域是R的任何奇函数f(x),都有( )A.f(x)-f(-x)>0 (x∈R) | B.f(x)-f(-x)≤0 (x∈R) | C.f(x)f(-x)≤0 (x∈R) | D.f(x)f(-x)>0 (x∈R) |
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