(Ⅰ)证明:由题设条件可知, 当x∈[-1,1]时,有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x. (Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1], 当|u-v|≤1时,有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1 当|u-v|≤1时,u•v<0,不妨设u∈[-1,0),v∈(0,1],则v-u>1 从而有|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=2-(v-u)<1 综上可知,对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1 (Ⅲ)这样满足所述条件的函数不存在.理由如下: 假设存在函数f(x)满足条件,则由|f(u)-f(v)|=|u-v|. u,v∈[,1]得|f()-f(1)|=|-1|= 又f(1)=0,所以|f()|=① 又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0, 由条件|f(u)-f(v)|<|u-v|. u,v∈[0,]得|f()|=|f()-f(0)|<|-0|= 所以|f()|<② ①与②矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在. |