设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|
题型:解答题难度:一般来源:北京
设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|. (Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x; (Ⅱ)判断函数g(x)=是否满足题设条件; (Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v. 若存在,请举一例:若不存在,请说明理由. |
答案
(Ⅰ)证明:由题设条件可知,当x∈[-1,1]时,有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x, 即x-1≤f(x)≤1-x. (Ⅱ)函数g(x)满足题设条件. 验证如下:g(-1)=0=g(1). 对任意的u,v∈[-1,1], 当u,v∈[0,1]时,有|g(u)-g(v)|=|(1-u)-(1-v)|=|u-v|; 当u,v∈[-1,0]时,同理有|g(u)-g(v)|=|u-v|; 当u•v<0,不妨设u∈[-1,0),v∈(0,1],有|g(u)-g(v)|=|(1+u)-(1-v)|=|u+v|≤|v-u|. 所以,函数g(x)满足题设条件. (Ⅲ)这样满足的函数不存在. 理由如下:假设存在函数f(x)满足条件,则由f(-1)=f(1)=0,得|f(1)-f(-1)|=0,① 由于对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|. 所以,|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2.② ①与②矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在. |
举一反三
设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB,则在区间[1,2]上f(x)=______. |
设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件,①f(-1)=f(1)=0,②对任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v| (Ⅰ)证明:对任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x (Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1 (Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)且使得 | |f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,] | |f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[,1] |
| | ;若存在请举一例,若不存在,请说明理由. |
函数f(x)=lg(1+x2),g(x)=2-|x|,h(x)=tan2x中,______是偶函数. |
对于定义域是R的任何奇函数f(x),都有( )A.f(x)-f(-x)>0 (x∈R) | B.f(x)-f(-x)≤0 (x∈R) | C.f(x)f(-x)≤0 (x∈R) | D.f(x)f(-x)>0 (x∈R) |
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已知函数f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=sinx.当x1>x2>π时,使<f()恒成立的函数是( )A.f1(x)=x2 | B.f2(x)=2x | C.f3(x)=log2x | D.f4(x)=sinx |
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