若f(x)是奇函数,在x>0时f(x)=sin2x+cosx,则x<0时f(x)的解析式是______,f′(-π6)=______.
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若f(x)是奇函数,在x>0时f(x)=sin2x+cosx,则x<0时f(x)的解析式是______,f′(-π6)=______.
题型:填空题
难度:简单
来源:不详
若f(x)是奇函数,在x>0时f(x)=sin2x+cosx,则x<0时f(x)的解析式是______,f′(-
π
6
)=______.
答案
设x<0,则-x>0,
又因为x>0时,f(x)=sin2x+cosx
则f(-x)=cosx-sin2x
又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=sin2x-cosx,
即x<0时f(x)的解析式是sin2x-cosx,
则x<0时,f′(x)=2cos2x+sinx;
f′(-
π
6
)=2cos(-
π
3
)+sin(-
π
6
)=1-
1
2
=
1
2
;
故答案为f(x)=2cos2x+sinx;
1
2
.
举一反三
下列函数在x=0处连续的是( )
A.f(x)=
-1,(x≤0)
x-1,(x>0)
B.f(x)=lnx
C.f(x)=
|x|
x
D.f(x)=
-1,(x>0)
0,(x=0)
1,(x<0)
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)=ax
3
+(a-1)x
2
+48(b-3)x+b的图象关于原点中心对称,则f(x)( )
A.在[-4
3
,4
3
]上为增函数
B.在[-4
3
,4
3
]上为减函数
C.[4
3
,+∞)上为增函数,在(-∞,-4
3
]上为减函数
D.在(-∞,-4
3
]上为增函数,在[4
3
,+∞)上也为增函数
题型:单选题
难度:简单
|
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在同一直角坐标系中,函数
f(x)=
2
x+1
与g(x)=(
1
2
)
x-1
的图象关于( )
A.y轴对称
B.x轴对称
C.原点对称
D.直线y=x对称
题型:单选题
难度:一般
|
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已知f(x)是奇函数,且x<0时,f(x)=cosx+sin2x,则当x>0时,f(x)的表达式是( )
A.cosx+sin2x
B.-cosx+sin2x
C.cosx-sin2x
D.-cosx-sin2x
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)对任意实数x都有f(x+1)+f(x)=1,且当x∈[0,2]时,f(x)=|x-1|.
(1)当x∈[2k,2k+2](k∈Z)时,求f(x)的表达式.
(2)证明f(x)是偶函数.
(3)试问方程
f(x)+lo
g
4
1
x
=0
是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没有实数根,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
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