若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,则f(x)+f(-x)2x<0的解集为( )A.(-3,3)B.(-∞,-3)∪(3,
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若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,则f(x)+f(-x)2x<0的解集为( )A.(-3,3)B.(-∞,-3)∪(3,
题型:单选题
难度:简单
来源:不详
若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,则
f(x)+f(-x)
2x
<0
的解集为( )
A.(-3,3)
B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
答案
因为y=f(x)为偶函数,所以
f(x)+f(-x)
2x
=
2f(x)
2x
=
f(x)
x
<0
,
所以不等式等价为
x>0
f(x)<0
或
x<0
f(x)>0
.
因为函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(3)=0,
所以解得x>3或-3<x<0,
即不等式的解集为(-3,0)∪(3,+∞).
故选C.
举一反三
已知定义域为R的函数
f(x)=
-
2
x
+b
2
x+1
+a
是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=log
a
(1+x),g(x)=log
a
(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).
(1)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(3)=2,求使h(x)>0成立的x的集合.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为x
1
,x
2
,|x
2
-x
1
|的最小值为π,则( )
A.ω=2,
θ=
π
2
B.
ω=
1
2
,
θ=
π
2
C.
ω=
1
2
,
θ=
π
4
D.ω=1,
θ=
π
4
题型:单选题
难度:一般
|
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已知f(x)是以π为周期的偶函数,且
x∈[0,
π
2
]
时,f(x)=1-sinx,则当
x∈[
5
2
π,3π]
时,f(x)等于( )
A.1+sinx
B.1-sinx
C.-1-sinx
D.-1+sinx
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
.
(1)证明:函数f(x)既是R上的奇函数,也是R上的增函数;
(2)是否存在m使f(2t
2
-4)+f(4m-2t)>f(0)对任意t∈[0,1]均成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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