已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求
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已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求
题型:解答题
难度:一般
来源:重庆
已知定义域为R的函数
f(x)=
-
2
x
+b
2
x+1
+a
是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求k的取值范围.
答案
(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即
b-1
a+2
=0⇒b=1∴f(x)=
1-
2
x
a+
2
x+1
又由f(1)=-f(-1)知
1-2
a+4
=-
1-
1
2
a+1
⇒a=2
.
所以a=2,b=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
f(x)=
1-
2
x
2+
2
x+1
=-
1
2
+
1
2
x
+1
,
易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因为f(x)是奇函数,
所以f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0
等价于f(t
2
-2t)<-f(2t
2
-k)=f(k-2t
2
),
因为f(x)为减函数,由上式可得:t
2
-2t>k-2t
2
.
即对一切t∈R有:3t
2
-2t-k>0,
从而判别式
△=4+12k<0⇒k<-
1
3
.
所以k的取值范围是k<-
1
3
.
举一反三
已知函数f(x)=log
a
(1+x),g(x)=log
a
(1-x),其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).
(1)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(3)=2,求使h(x)>0成立的x的集合.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为x
1
,x
2
,|x
2
-x
1
|的最小值为π,则( )
A.ω=2,
θ=
π
2
B.
ω=
1
2
,
θ=
π
2
C.
ω=
1
2
,
θ=
π
4
D.ω=1,
θ=
π
4
题型:单选题
难度:一般
|
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已知f(x)是以π为周期的偶函数,且
x∈[0,
π
2
]
时,f(x)=1-sinx,则当
x∈[
5
2
π,3π]
时,f(x)等于( )
A.1+sinx
B.1-sinx
C.-1-sinx
D.-1+sinx
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
.
(1)证明:函数f(x)既是R上的奇函数,也是R上的增函数;
(2)是否存在m使f(2t
2
-4)+f(4m-2t)>f(0)对任意t∈[0,1]均成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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(1)计算
2lo
g
5
2+lo
g
5
3
lo
g
5
10+
1
2
lo
g
5
0.36+
1
3
lo
g
5
8
的值
(2)已知函数f(x)=x+
1
x
.判断函数的奇偶性,并加以证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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