(选做题)已知函数f(x)=|2x-1|+2,g(x)=-|x+2|+3.(Ⅰ)解不等式:g(x)≥-2;(Ⅱ)当x∈R时,f(x)-g(x)≥m+2恒成立,求
题型:解答题难度:一般来源:不详
(选做题)已知函数f(x)=|2x-1|+2,g(x)=-|x+2|+3. (Ⅰ)解不等式:g(x)≥-2; (Ⅱ)当x∈R时,f(x)-g(x)≥m+2恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
(Ⅰ)∵g(x)=-|x+2|+3,g(x)≥-2, ∴|x+2|≤5, ∴-5≤x+2≤5, 解得-7≤x≤3, ∴不等式g(x)≥-2的解集为{x|-7≤x≤3}. (Ⅱ)∵f(x)=|2x-1|+2,g(x)=-|x+2|+3, ∴f(x)-g(x)=|2x-1|+|x+2|-1, 设h(x)=|2x-1|+|x+2|-1, 则h(x)= | -3x-2,x≤-2 | -x+2,-2<x< | 3x,x≥ |
| | , ∴h(x)≥. ∵当x∈R时,f(x)-g(x)≥m+2恒成立, ∴m+2≤,解得m≤-, 所以,实数m的取值范围是(-∞,-]. |
举一反三
定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数)使得f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立,则称 g(x)为函数f(x)的一个承托函数.以下说法 (1)函数f(x)=x2-2x不存在承托函数; (2)函数f(x)=x3-3x不存在承托函数; (3)函数f(x)=不存在承托函数; (4)g(x)=1为函数f(x)=x4-2x3+x2+1的一个承托函数; (5)g(x)=x为函数f(x)=ex-1的一个承托函数. 中正确的个数为( ) |
若函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函数,则函数f(x)的单调递减区间为[0,+∞)[0,+∞). |
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,>0(x>0),则不等式x2f(x)>0的解集是______. |
定义:设函数f(x)在(a,b)内可导,若f′(x)为(a,b)内的增函数,则称f(x)为(a,b)内的下凸函数. (Ⅰ)已知f(x)=ex-ax3+x在(0,+∞)内为下凸函数,试求实数a的取值范围; (Ⅱ)设f(x)为(a,b)内的下凸函数,求证:对于任意正数λ1,λ2,λ1+λ2=1, 不等式f(λ1x1+λ2x2)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)对于任意的x1,x2∈(a,b)恒成立. |
设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),求f(-)值. |
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