设数列{an}的前n项和为Sn,点P(Sn,an)在直线(3-m)x+2my-m-3=0上,(m∈N*,m为常数,m≠3);(1)求an;(2)若数列{an}的
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设数列{an}的前n项和为Sn,点P(Sn,an)在直线(3-m)x+2my-m-3=0上,(m∈N*,m为常数,m≠3);(1)求an;(2)若数列{an}的
题型:惠州一模
难度:
来源:
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点P(S
n
,a
n
)在直线(3-m)x+2my-m-3=0上,(m∈N
*
,m为常数,m≠3);
(1)求a
n
;
(2)若数列{a
n
}的公比q=f(m),数列{b
n
}满足
b
1
=
a
1
,
b
n
=
3
2
f(
b
n-1
),(n∈N*,n≥2)
,求证:
{
1
b
n
}
为等差数列,并求b
n
;
(3)设数列{c
n
}满足c
n
=b
n
•b
n+2
,T
n
为数列{c
n
}的前n项和,且存在实数T满足T
n
≥T,(n∈N*),求T的最大值.
答案
(1)由题设,(3-m)S
n
+2ma
n
-m-3=0①(1分)
∴
(3-m)
a
1
+2m
a
1
-m-3=0⇒
a
1
=
m+3
m+3
=1
(2分)
由①,n≥2时,(3-m)S
n-1
+2ma
n-1
-m-3=0②(3分)
①-②得,
(3-m)
a
n
+2m(
a
n
-
a
n-1
)=0⇒
a
n
=
2m
m+3
a
n-1
,(4分)
∴
a
n
=(
2m
m+3
)
n-1
.(5分)
(2)由(1)知
q=
2m
m+3
,
b
1
=
a
1
=1,
b
n
=
3
2
f(
b
n-1
)=
3
2
×
2
b
n-1
b
n-1
+3
,
化简得:
1
b
n
=
1
b
n-1
+
1
3
(7分)
∴
{
1
b
n
}
是以1为首项、
1
3
为公差的等差数列,(8分)
∴
1
b
n
=1+(n-1)×
1
3
=
n+2
3
∴
b
n
=
3
n+2
.(10分)
(3)由(2)知
c
n
=
b
n
•
b
n+2
=
3
n+2
•
3
n+4
>0,n∈
N
*
.T
n
为数列c
n
的前n项和,因为c
n
>0,
所以T
n
是递增的,
T
n
≥
T
1
=
c
1
=
3
5
.(12分)
所以要满足T
n
≥T,(n∈N*),∴
T≤
T
1
=
3
5
(13分)
所以T的最大值是
3
5
(14分)
举一反三
已知在等比数列{a
n
}中,a
1
=1,且a
2
是a
1
和a
3
-1的等差中项.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)若数列{b
n
}满足
b
n
=2n-1+
a
n
(n∈
N
*
)
,求{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:龙泉驿区模拟
难度:
|
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若有穷数列{a
n
} 满足条件a
1
=a
n
,a
2
=a
n-1
,…,a
n
=a
1
,即a
i
=a
n-i+1
(i=1,2,…,n),则称数列{a
n
} 为“对称数列”.例如,数列1,2,3,2,1与数列4,2,1,1,2,4都是“对称数列”.
(Ⅰ)设{b
n
}是21项的“对称数列”,其中b
1
,b
2
,…,b
11
是等比数列,且b
2
=2,b
5
=16,求{b
n
}的所有项的和S;
(Ⅱ)设{c
n
}是22项的“对称数列”,其中c
12
,c
13
,…,c
22
是首项为22,公差为-2的等差数列,求{c
n
}的前n项和T
n
(1≤n≤22,n∈N
*
).
题型:不详
难度:
|
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若lgx,lg(x-2y),lgy三个数成等差数列,则
x
y
的值是( )
A.1
B.4
C.
1或
1
4
D.1或4
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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已知-7,a
1
,a
2
,-1四个实数成等差数列,-4,b
1
,b
2
,b
3
,-1五个实数成等比数列,则
a
2
-
a
1
b
2
=______.
题型:不详
难度:
|
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