(1)因为函数f(x)=ln(ex+k)(k为常数)是实数集R上的奇函数, 所以f(-0)=-f(0)即f(0)=0, 则ln(e0+k)=0解得k=0, 显然k=0时,f(x)=x是实数集R上的奇函数; (2)由(1)得f(x)=x所以g(x)=λx+sinx,g"(x)=λ+cosx, 因为g(x) 在[-1,1]上单调递减,∴g"(x)=λ+cosx≤0 在[-1,1]上恒成立, ∴λ≤-1,g(x)max=g(-1)=-λ-sin1, 只需-λ-sin1≤t2+λt+1(λ≤-1), ∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0(λ≤-1)恒成立, 令h(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1(λ≤-1) 则 | t+1≤0 | h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0 |
| | 解得t≤-1 (3)由(1)得f(x)=x ∴方程转化为=x2-2ex+m,令F(x)=(x>0),G(x)=x2-2ex+m (x>0),(8分) ∵F"(x)=,令F"(x)=0,即=0,得x=e 当x∈(0,e)时,F"(x)>0,∴F(x)在(0,e)上为增函数; 当x∈(e,+∞)时,F"(x)<0,F(x)在(e,+∞)上为减函数;(9分) 当x=e时,F(x)max=F(e)=(10分) 而G(x)=(x-e)2+m-e2 (x>0) ∴G(x)在(0,e)上为减函数,在(e,+∞)上为增函数;(11分) 当x=e时,G(x)min=m-e2(12分) ∴当m-e2>,即m>e2+时,方程无解; 当m-e2=,即m=e2+时,方程有一个根; 当m-e2<,即m<e2+时,方程有两个根;(14分) |