定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k·3x)+

定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k·3x)+

题型:解答题难度:一般来源:月考题
定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证f(x)为奇函数;
(2)若f(k·3x)+f(3x﹣9x﹣2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
答案
解:(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),
① 令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
令y=﹣x,代入①式,得f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),又f(0)=0,
则有 0=f(x)+f(﹣x).即f(﹣x)=﹣f(x)
对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.
(2)解:f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),
又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,
又由(1)f(x)是奇函数. f(k?3x)<﹣f(3x﹣9x﹣2)=f(﹣3x+9x+2),
k?3x<﹣3x+9x+2,
令t=3x>0,分离系数得: ,
问题等价于 ,对任意t>0恒成立.
 , ∴ .
举一反三
是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是(   )
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已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为 [     ]
A.4
B.0
C.2m
D.-m+4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数的图象[     ]
A.关于原点对称
B.关于直线y=x对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
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给出下列三个命题:
①函数是同一函数;
②若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,
则函数y=f(2x)与的图象也关于直线y=x对称;
③若奇函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)=f(2﹣x),则f(x)为周期函数.
其中真命题是[     ]
A.①②
B.①③
C.②③
D.②
题型:单选题难度:一般| 查看答案
如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF,中心在原点边长为a,AB边平行x轴,直线l:y=kx+t(k为常数)与正六边形交于M、N两点,记△OMN的面积为S,则关于函数S=f(t)的奇偶性的判断正确的是  
[     ]
A.一定是奇函数
B.一定是偶函数
C.既不是奇函数,也不是偶函数
D.奇偶性与k有关
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