已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成

题型：解答题难度：困难来源：安徽省期中题

已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²﹣2t）+f（2t²﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

答案

（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设x₁＜x₂则f（x₁）﹣f（x₂）=﹣=
因为函数y=2^x在R上是增函数且x₁＜x₂
∴f（x₁）﹣f（x₂）=＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数
（III）∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t²﹣2^_t）+f（2t²﹣k）＜0等价于f（t²﹣2t）＜﹣f（2t²﹣k）=f（k﹣2t²），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t²﹣2t＞k﹣2t²．
即对一切t∈R有：3t²﹣2t﹣k＞0，
从而判别式 ．
所以k的取值范围是k＜﹣．