设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),(Ⅰ)设f(1)=2,求;(Ⅱ
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设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),(Ⅰ)设f(1)=2,求;(Ⅱ
题型:解答题
难度:困难
来源:高考真题
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x
1
,x
2
∈[0,
]都有f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)·f(x
2
),
(Ⅰ)设f(1)=2,求
;
(Ⅱ)证明f(x)是周期函数。
答案
(Ⅰ)解:由
知
,
∵
,f(1)=2,
∴
,
∵
,
,
∴
。
(Ⅱ)证明:依题设y=f(x)关于直线x=1对称,故f(x)=f(1+1-x),
即f(x)=f(2-x),x∈R,
又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R,
∴f(-x)=f(2-x),x∈R,
将上式中-x以x代换,得f(x)=f(x+2),x∈R,
这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期。
举一反三
已知f(x)的定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数f(x)=x
2
+|x-2|-1,x∈R,
(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小值。
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)=lg(1+x
2
),g(x)=2-|x|,h(x)=tg2x中,是偶函数的是( )。
题型:填空题
难度:一般
|
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设a为实数,函数f(x)=x
2
+|x-a|+1,x∈R,
(Ⅰ)讨论f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)求f(x)的最小值。
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,
]时,f(x)=sinx,则f(
)的值为
[ ]
A.
B.-
C.-
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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